33. Интегральная функция распределения. Ее свойства.

Функция распределения F(x)определяет для каждого возможного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше этого x.

(X<x)случ. соб.= (-<X<x)

P(X<x) = P(-<X<x) = F(x)

F(x)=P(X<x) – интегральная функция распределения.

Свойства интегральной функции распределения:

1. Значения функции F(x) принадлежат отрезку (0;1) по определению: 0 F(x)1.

2. Интегральная функция распределения – неубывающая функция

(x<x₂)=(x<x₁)+( x₁x< x₂)

P(x<x₂)=P(x<x₁)+P( x₁x< x₂)

F(x₂)=F(x₁) +P( x₁x< x₂)

F(x₂)- F(x₁)=0

P( x₁x< x₂)= F(x₂)- F(x₁)

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равно разнице функции F(x)на концах интервала Р(Х)= F() – F().

4. Вероятность того, что случайная величина попадет в точку, равна нулю Р(Х=С)=0.

Следствие: Р(  Х  )=Р(  Х  )= Р(  Х  )= Р(  Х  ).

5. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a,b), то при хa F(x)=0, при x>b F(x)=1.

Предельное значение интегральной функции распределения:

левое F(x)=P(x<-)=0

правое F(x)=P(x<)=1

№34. Кумулята. Ее свойства.

Кумулята – интегральная функция дискретной случайной величины, обладает всеми свойствами случайной величины. Кумулята – накопление вероятности. Скачок равен вероятности.

Свойства:

1. Неубывающая

2. F(-)=0

3. F(+)=1

4. X₂X₁F(x₂)F(x₁)

F(x)

35. Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности), ее свойства.

Е сли плотность вероятности в точке x существует, то P(xXx+x)=f(x)x+о(x). Вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в отрезке с точностью до о(x) равна F(x)x.

Равномерное распределение.

p(x)=f(x).

т.к.

Экспоненциальное распределение.

1. Плотность вероятности является неотрицательной функцией.

2. 

3. 

=1

4. 

5. Связь функций F(x) і (x): F(x) = .

Следствие: Если пространством элементарных событий является отрезок числовой оси, то пространство элементарных событий формально можно распространить на всю числовую ось, положив вне отрезка значение плотности вероятности равное 0.

36. Численные характеристики непрерывной случайной величины.

Важнейшая характеристика математическое ожидание, которая показывает среднее значение случайной величины.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

Для дискретных случайных величин математическое ожидание:

Сумма значений соответствующего значения на вероятность случайных величин.

М одой дискретной случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение.

Д ля непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Mod=X₃ Mod=X₀

Одно-модальное распределение

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным. Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

В общем случае Mod и математическое ожидание не совпадают.

М едианой случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(X<Med)=P(X>Med). У любого распределения Med может быть только один.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

В случае одно-модального и симметричного распределения mx=Mod=Med

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k.

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Математическое ожидание случайной величины - это первый начальный момент.

Пользуясь знаком М, начальный момент -го порядка можно представить как мат. ожидание -ой степени некоторой случайной величины.

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент 1-го порядка всегда =0, а центральный момент 2-го порядка равен дисперсии. Центральный момент 3-го порядка характеризует асимметрию распределения. Отношение центрального момента третьего порядка к ско в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Дисперсия случайной величины имеет обозначение:

По определению

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Для дискретной случайной величины: Дисперсия случайной величины – это характеристика рассеянности случайных величин Х около ее математического ожидания. Дисперсия означает рассеивание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.