Степенные ряды

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

где – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда является некоторый интервал, который в частности может вырождаться в точку.

Теорема 14 (Абеля сходимости степенного ряда). Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он сходится абсолютно для всех х, удовлетворяющих условию ; если ряд расходится при некотором значении , то он будет расходиться для всех х, удовлетворяющих условию .

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Из нее следует, что существует такое число R, что ряд абсолютно сходится при и расходится при . Это число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а – интервалом сходимости.

Вопрос о сходимости ряда на концах интервала решается для каждого конкретного случая индивидуально.

Для определения радиуса сходимости применяют либо признак Даламбера, из которого следует формула либо признака Коши: .

Пример 11. Определить интервал сходимости ряда:

.

Решение. . По признаку Даламбера

Исходный ряд сходится в интервале . Исследуем сходимость на концах этого интервала. При получаем ряд

Получим гармонический ряд, который является расходящимся.

В случае получаем знакочередующийся ряд , который является сходящимся по признаку Лейбница.

Вывод: исходный степенной ряд сходится в области .

Отметим два важных свойства, строго доказываемых в математической литературе: дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Свойство 1. При дифференцировании степенных рядов в области сходимости справедливы соотношения:

 .

Свойство 2. В случае интегрирования степенных рядов в области сходимости, справедливы соотношения:



Наряду со степенными рядами по степеням х, существуют степенные ряды и по степеням . Если для ряда область сходимости рассматривается относительно начала координат, то область сходимости ряда – относительно значения .

Пример 12. Найти сумму ряда

Решение. Обозначим:

По признаку Даламбера предоставляем самостоятельно убедиться, что областью сходимости данного ряда является отрезок . Тогда на основании свойства дифференцирования степенных рядов

где . Продифференцируем :

При – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:

Применяя свойство интегрирования степенных рядов, получаем:

Тогда

Получаем сумму исходного ряда:

Ряды Тейлора и Маклорена

Рассмотрим функцию , которая имеет производные любого порядка в окрестности точки . Выражение

называется рядом Тейлора для функции .

Ряд Тейлора можно представить в виде:

Ряд Тейлора сходится к функции в некоторой окрестности точки тогда и только тогда, когда В этом случае справедливо равенство , которое означает, что суммой ряда является функция в некоторой окрестности точки .

Если в ряде Тейлора положить , то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена: