Линейные операции над векторами

Определение. Произведением вектора на число называется вектор , обозначаемый , такой, что:

1) ;

2) векторы и коллинеарны; имеют одно направление, если , и противоположное направление, если . Если , то является нулевым вектором.

Определение. Суммой двух векторов и называется третий вектор , который идет из начала первого вектора в конец второго , если второй вектор выходит из конца первого.

Определение. Вектор, коллинеарный данному вектору ,равный ему по длине и противоположно направленный, называется противоположным вектором для вектора и обозначается .

Определение. Разностью двух векторов и называется третий век-

тор , который представляет собой сумму вектора и вектора, противоположного вектору , т.е. .

Линейные операции над векторами обладают свойствами:

1) 4)

2) 5)

3)

Определение. Если вектор составляет угол с осью ОХ, то проекцией вектора на эту ось называется произведение модуля вектора на косинус угла :

.

Теорема. Проекция суммы векторов и на ось ОХ равна сумме проекций этих векторов на эту ось:

.

В трехмерном пространстве произвольный вектор представляется в системе орт по формуле

,

где - единичные базисные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением соответствующей оси; – проекции вектора на оси координат, т.е.

.

Если заданы точки , то для вектора

Длина вектора определяется через проекции по формуле

.

Косинусы углов образованных вектором с осями координат, находятся в виде отношений

Они называются направляющими косинусами. Причем сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице, т.е.

Равенство используется для выражения вектора через его проекции на заданные координатные оси.

Пример 1. Даны точки . Найти длину вектора , и его направляющие косинусы.

Решение. Подставляя в соответствующие формулы: длины вектора и направляющих косинусов, получим:

; ,

Пример 2. На плоскости даны четыре вектора

Разложить вектор по векторам .

Решение. Представим разложение вектора в виде , где - неизвестные коэффициенты. Выразим каждый из векторов ,

через единичные векторы:

.

Откуда получим систему

Следовательно, .

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

Из данного выражения можно найти :

Если векторы выражены через координаты и , то скалярное произведение определяется как сумма произведений соответствующих координат:

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. Переместительное свойство: ;

2. Сочетательное свойство: ;

3) Распределительное свойство: ;

4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

Опираясь на последнее свойство, заметим, что .

Условие коллинеарности двух векторов и записывается в виде

,

где - числовой множитель. Через координаты это условие записывается в виде

Условие перпендикулярности двух векторов и

записывается в виде

Скалярное произведение может быть представлено в виде

,

где и - проекции одного из векторов на направление второго вектора.

Пример 1. Определить угол между векторами и .

Решение. Используя формулу угла между двумя векторами, находим

Пример 2. Найти проекцию вектора на вектор

Решение. Из представления скалярного произведения векторов находим

Пример 3. Найти длину вектора если

Решение.