Действия над матрицами

1. Умножение матрицы на число.

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица

Правило. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

2. Сложение матриц.

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Определение. Суммой матриц и одинаковой размерности называется матрица, элементы которой равны суммам элементов матриц и , расположенных на соответствующих местах:

Определение. Матрица называется противоположной матрице .

Разность матриц можно определить как . Операции сложения и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

где - матрицы, - числа.

3. Умножение матриц.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что

т.е. для получения элемента , расположенного в -строке и -м столбце матрицы , надо элементы -й строки матрицы умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы и полученные произведения сложить.

Если матрицы и квадратные одной размерности, то произведения и всегда существуют.

Пример 1.1. Выполнить следующие действия:

Решение.

Пример 1.2. Вычислить произведение матриц

Решение. Так как сомножители имеют размеры и , то их произведение определено и имеет размеры . Следовательно,

.

Определители матриц второго и третьего порядка

Определение. Квадратная таблица

,

составленная из четырех действительных (или комплексных) чисел, называется квадратной матрицей 2-го порядка.

Определение. Определителем матрицы 2-го порядка называется число

Аналогично, если

- квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей определителем 3-го порядка называется число

Правая часть последнего представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах матрицы. Соединив линией, элементы каждого произведения, получим две легко запоминающиеся схемы, которые позволяют определить знаки слагаемых и элементы, входящие в них сомножителями (правило Саррюса):

(основания (основания

треугольников треугольников

параллельны параллельны

главной обратной

диагонали) диагонали)

Пример 1. Вычислить определитель 2-го порядка

.

Решение. Используя формулу (1.4.1), получим

.

Пример 2. Вычислить определитель 3-го порядка

.

Решение. Используя правило Саррюса, получим

Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца

Определение. Минором элемента определителя -го порядка называется определитель -го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе -го порядка строки и столбца, содержащих элемент .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на

Теорема. Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

где

где

Последние равенства называются соответственно разложениями определителя матрицы по элементам i-й строки и j-го столбца и могут быть использованы для вычисления определителей матриц.

Пример 1. Вычислить определитель, разлагая его по элементам третьего столбца:

Решение.