4. Производная
Рассмотрим
функцию
,
заданную на некотором промежутке. Дадим
аргументу x
приращение
,
тогда функция
получит приращение
.
Определение.
Производной
функции называется предел отношения
приращения функции
к приращению аргумента
,
когда последнее произвольным образом
стремится к нулю. Операция нахождения
производной называется дифференцированием.
Производная функции – это тоже функция.
Производная
обозначается следующим образом:
По
определению, при любом допустимом х:
.
Таблица производных
1)
|
6)
|
11)
|
2)
|
7)
|
12)
|
3)
|
8)
|
13)
|
4)
|
9)
|
14)
|
5)
|
10)
|
|
Правила дифференцирования
где
Способы нахождения производной
1.
Если функция является сложной:
то
2.
Если функция задана параметрически:
то
3.
Если функция задана неявно:
,
то
.
Чаще
для нахождения производной от функции,
заданной неявно, применяют не саму
вышеприведенную формулу, а процедуру
ее нахождения (см. ниже пример 5). Заметим,
что при нахождении
переменную y
нужно считать постоянной величиной.
4.
Для нахождения производной от сложной
функции, имеющей вид:
,
предварительно применяют операцию
логарифмирования, в результате которой
получаем:
Дифференцируем последнее равенство по х:
Из
этого равенства находим
Производные высших порядков
Определение.
Производной
второго порядка
от функции
называется производная от производной
функции
:
Вторая производная может обозначается
следующим образом:
Определение.
Производной
n-го
порядка от
функции
называется производная от производной
-го
порядка:
или
При нахождении производных от заданных функций в первую очередь необходимо установить способ задания функции. Затем, в зависимости от сложности функции, применяем соответствующую формулу и правила дифференцирования.
Пример
1.
Решение. Эта функция задана явно, по структуре является сложной. Представим эту функцию в виде степенной
и применим формулу производной от сложной функции и правила дифференцирования:
Пример
2.
.
Решение. Применяем формулу производной от сложной функции:
Пример
3.
Решение. Применяя формулу производной частного, получаем:
Пример
4.
Решение. Данная функция является сложной: одновременно показательной и степенной. Поэтому для нахождения производной от этой функции в начале ее логарифмируем:
Дифференцируем
последнее равенство с учетом того, что
,
получаем:
Пример
5.
Решение. В данном случае функция задана неявно. Дифференцируем заданную функцию с учетом того, что :
Рассматривая
это равенство как уравнение относительно
,
получаем:
Пример
6.
Решение. Применяем формулу производной от сложной функции:
Замечание.
Для упрощения вычислений можно
предварительно преобразовать данную
функцию:
Пример
7.
Решение. Функция задана параметрически. Применяем формулу производной о функции заданной параметрически:
Вычисляем производную второго порядка от функции, заданной параметрически:
