Плоскость

Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , получается на основе использования скалярного произведения двух векторов.

Пусть - произвольная точка плоскости . Тогда и, по условию перпендикулярности векторов получаем

,

уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору. После раскрытия скобок в уравнении (6.1) получается уравнение

Определение. Уравнение

называется общим уравнением плоскости в пространстве, а вектор называется нормальным вектором плоскости .

Определение. Уравнение, имеющее вид

,

называется уравнением плоскости в отрезках проходящей через три точки

М(а,0,0), N(0,b,0), Р(0,0,с), лежащие на осях координат.

Определение. Уравнение, имеющий вид

называют уравнением плоскости, проходящей через три точки

, , .

Пусть заданы две плоскости

Угол, образованный двумя плоскостями, находится по формуле

Условие параллельности плоскостей имеет вид

.

Условие перпендикулярности плоскостей записывается в виде

.

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

.

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Подставляя исходные данные в соответствующую формулу, получим

Пример 2. Написать уравнение плоскости, параллельной оси ОХ и проходящей через точки М(0,1,3) и К(2,4,5).

Решение. Используя уравнение плоскости проходящей через точку М с нормальным вектором, получаем

.

Так как плоскость параллельна оси ОХ, то А=0. Искомое уравнение примет вид

.

Подставляя в последнее уравнение координаты точки К, получим:

, т.е. . Искомое уравнение принимает вид

Прямая в пространстве

Определение. Уравнение прямой, имеющий вид,

,

называют каноническими уравнениями прямой.

Оно может быть получено, как прямая, проходящая через две заданные точки и . Разновидность канонического уравнения прямой

,

где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой.

Параметрические уравнения прямой получаются, если каждое из отношений последнего равенства приравнять к параметру t:

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей: и . Тогда уравнение прямой будет

.

Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями

Угол между прямыми в пространстве определяются по формуле

Условие параллельности двух прямых имеет вид

Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости записывается в виде

Пример 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(4;3; 2) и параллельную вектору =(-1; 1; 1).

Решение. Используя каноническое уравнение прямой, получим

Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки

М₁(-1; 2; 3) и М₂(2; 6; -2), и найти ее направляющие косинусы.

Решение. Используем каноническое уравнение прямой, получаем

При этом направляющий вектор будет =(3; 4; -5).Направляющие косинусы находятся по формулам

Откуда