Интегралы от тригонометрических функций
При вычислении интегралов от тригонометрических функций возникает много вариантов. Рассмотрим некоторые случаи.
1.
Интегрирование рациональной функции
относительно
и
:
.
С помощью универсальной подстановки
,
подобные интегралы приводятся к
интегралам от рациональных дробей. В
этом случае
и
Пример
10. Вычислить
интеграл
Решение.
2.
Универсальная подстановка часто приводит
к сложным рациональным дробям. Во многих
интегралах ее можно избежать. Так, в
интегралах вида
применяются замены
и
соответственно:
Пример
11.
Решение.
3. Часто при вычислении интегралов от тригонометрических функций используют тригонометрические соотношения, позволяющее упростить вычисление интегралов.
Пример
12.
Решение.
4. Интегралы вида:
вычисляют соответственно с помощью тригонометрических формул:
Пример
13.
Решение.
5.
Наконец, интегралы вида
вычисляются с помощью формул понижения
степени:
Пример
14.
.
Решение.
Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
В конечном итоге в перечисленных случаях приходим к интегралам от тригонометрических функций.
Пример
15.
Решение.
6. Определённый интеграл
К понятию определенного интеграла приводят многие задачи механики, физики, геометрии и др. Ограничимся общим подходом к их решению.
Пусть
функция
определена на отрезке
.
Разобьем отрезок
произвольным образом на n
частей точками
,
где
,
На каждом из отрезков выберем произвольную
точку
Вычислим
и
составим выражение:
,
которое называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Определение.
Если при любом разбиении отрезка
,
,
и при любом выборе точек
на каждом из отрезков интегральная
сумма
стремится к одному и тому же пределу,
то этот предел называют определенным
интегралом
от функции
на
отрезке
и обозначают
Таким образом, по определению:
a и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Определение. Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует предел интегральной суммы, составленной для на .
Теорема (существования). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Основные свойства определенного интеграла
1) 
2) 
3) 
4) Если
на
,
то
5) Если
− соответственно наименьшее и наибольшее
значения
на
,
то
6) Если
непрерывна на
,
то на этом отрезке найдется, по крайней
мере, одна точка ξ,
что
для
любых a,
b,
c.
Теорема (Ньютона-Лейбница). Если – непрерывная функция на отрезке , а F(х) − ее первообразная, то справедлива формула
Все рассмотренные методы вычисления неопределенного интеграла могут быть использованы для вычисления определенного интеграла.
Пример
1. Вычислить
.
Решение.
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема.
Пусть дан
где
– функция, непрерывная на
,
и
Если
функция
имеет на
непрерывную производную, а
определена и непрерывна на
,
то
Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной.
Пример
2.
Решение.
