Однородные уравнения

Определение. Функция называется однородной функцией n-го порядка относительно переменных x и y, если при любом  справедливо тождество

Пример 2. – однородная функция второго порядка, т.к.

Определение. Уравнение называется однородным уравнением первого порядка, если является однородной функцией нулевого порядка измерения относительно x и y.

Однородное уравнение решается с помощью замены Тогда Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим: . Последнее представляет собой уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя последнее, найдем

Заменяя u на , окончательно получаем общий интеграл исходного уравнения:

Пример 3.

Решение. Правая часть является однородной функцией нулевого порядка измерения. Выполнив замену , получаем:

Разделяем переменные:

Интегрируем:

Осуществляя замену получаем общий интеграл исходного уравнения:

Замечание. Уравнение будет однородным в том случае, если и являются однородными функциями одного и того же порядка измерения.

Линейные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка где – непрерывные функции, называется линейным относительно неизвестной функции

Решение линейного дифференциального уравнения находят в виде Тогда . Подставляем выражения для в исходное уравнение:

Выберем так, чтобы Интегрируя последнее, получаем

не влияет на окончательное решение, поэтому его можно не учитывать. Тогда уравнение (*) примет вид:

Окончательно имеем:

.

Пример 4.

Решение.

Подставляем выражения для и в исходное уравнение:

Для нахождения получили уравнение:

Тогда для нахождения остается уравнение

Общее решение исходного уравнения будет:

Уравнение Бернулли

Определение. Дифференциальное уравнение где – непрерывные функции, а называется уравнением Бернулли.

С помощью замены уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению:

Преобразуем исходное уравнение:

Переходя к новой переменной z, получим

Последнее уравнение является линейным относительно

Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если функции и являются непрерывными и дифференцируемыми, и существует такая функция , что (то есть левая часть исходного уравнения является полным дифференциалом функции : ). Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполнено условие:

Укажем способ нахождения Исходя из предположения, сделанного относительно исходного уравнения:

Тогда

Из соотношения где – точка принадлежит области существования решения. При интегрировании по x величина y считается постоянной, поэтому произвольная постоянная интегрирования зависит от y. Подберем так, чтобы выполнялось условие: Для этого продифференцируем найденную функцию U по y и приравняем к

А так как то последнее соотношение принимает вид:

Таким образом,

Общий интеграл исходного уравнения будет:

Пример 5.

Решение.

Условие уравнения в полных дифференциалах выполняется.

Тогда а с другой стороны Для нахождения получаем уравнение:

Таким образом, исходное уравнение имеет общий интеграл: