Приложения определенного интеграла Вычисление площади
Если
функция
принимает неотрицательные значения на
отрезке
(рис. 3), то площадь, ограниченная графиком
функции
и прямыми:
,
вычисляется по формуле
.
В случае, когда функция принимает отрицательные значения на отрезке (рис. 4), для вычисления площади получаем формулу:
Рис. 3 |
Рис. 4 |
Если функция принимает как положительные, так и отрицательные значения на отрезке (рис. 5), то, учитывая случаи, рассмотренные выше, для вычисления площади, получаем формулу:
Для
функции, заданной в полярных координатах
,
площадь, ограниченная графиком функции
и лучами
(рис. 6), вычисляется по формуле:
.
Рис. 5 |
Рис. 6 |
Пример
1. Вычислить
площадь области, ограниченной линиями
(рис. 7)
Решение.
.
Пример
2. Вычислить
площадь области, ограниченной кардиоидой
(рис. 8)
.
Решение.
Вычисление длины дуги кривой
Если
функция
и ее производная
являются непрерывными на отрезке
,
то длина дуги кривой, заданной функцией
,
вычисляется по формуле:
где
– абсциссы концов дуги.
Если кривая задана параметрическим уравнением
,
то
П
ример
3. Вычислить
длину дуги астроиды:
(рис. 9)
Для вычисления длины всей астроиды достаточно вычислить длину дуги в первой четверти и, учитывая ее симметрию относительно координатных осей, умножив на 4, получим длину всей астроиды.
7. Дифференциальные уравнения
Определение.
Дифференциальным
уравнением
называется уравнение, связывающее
независимую переменную х,
искомую функцию
и ее производные
В общем виде дифференциальное уравнение записывается так:
или
Если искомая функция зависит только от одной переменной величины, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Определение.
Общим решением
дифференциального уравнения n-го
порядка называется функция
,
зависящая от n
произвольных постоянных
,
такая, что она удовлетворяет уравнению
при любых значениях постоянных
и при любых значениях начальных условий
постоянные
можно подобрать так, что функция
будет удовлетворять этим условиям.
Соотношение
вида
,
неявно определяющее общее решение,
называют общим
интегралом
дифференциального уравнения.
Всякая
функция, полученная из общего решения
при конкретных значениях постоянных
,
называется частным
решением.
График частного решения называется
интегральной
кривой
данного дифференциального уравнения.
Определение. Задачу нахождения решения уравнения
,
удовлетворяющего
начальным условиям
…,
называют
задачей Коши
для дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Рассмотрим
дифференциальное уравнение первого
порядка, разрешенное относительно
производной
Теорема
(существования и единственности решения).
Если для
дифференциального уравнения
,
функция
и ее производная
непрерывны в некоторой области D,
то для любой точки
существует единственное решение
этого уравнения, удовлетворяющее
начальному условию
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение.
Уравнения вида
и
называются уравнениями
с разделяющимися переменными.
Такое
уравнение может быть приведено путем
деления обеих частей на выражение
,
в первом случае и
во втором случае, к уравнению
с разделенными переменными
или
соответственно.
Переход от исходных уравнений к уравнениям с разделенными переменными называется операцией разделения переменных.
Пример
1. Решить
уравнение
Решение. Разделяя переменные, получаем:
или
Интегрируя последнее выражение, находим общий интеграл:
