20. Охарактеризовать структурные средние величины.

Структурные средние характеризуют структуру совокупности. К их числу относится мода и медиана.

Мода – величина признака, наиболее часто встречающаяся в совокупности, т.е. имеющая наибольшую численность в ряду распределения.

Она соответствует определенному значению признака. В дискретном ряду распределения мода определяется визуально. В интервальном ряду распределения визуально можно определить только интервал, в котором заключена мода, который называется модальный интервал.

Мода будет равна:

Мо=х_мо+i_мо * [(f_мо-f_мо-1) / (f_мо-f_мо-1)+(f_мо-f_мо+1)]; где

х_мо - нижняя граница модального интервала

i_мо – величина модального интервала

f_мо – частота модального интервала

f_мо-1 – частота, предшествующая модальному интервалу

f_мо+1 – частота интервала, следующая за модальным

Медиана – величина признака единицы совокупности, находящейся в середине упорядоченного ряда.

Если варианты в ряду распределения представлены в виде равных интервалов, то сначала необходимо найти медианный интервал, для этого сумму частот разделить на 2, вследствие чего будет найдена медианная единица:

Ме = х_ме+i_ме * [(сумма f/2 – S_ме-1) / f_ме; где

х_ме – нижняя граница медианного интервала

i_ме – величина медианного интервала

f_ме – численность медианного интервала

S_ме-1 – накопленный итог численностей до медианного интервала

f/2 – полусумма частот ряда.

21. Назвать и охарактеризовать виды показателей вариации

6.2. Виды и значение показателей вариации

Вариация признака у отдельных единиц изучаемой совокупности различается по размеру. Поэтому важным этапом

изучения вариации признака является её измерение.

Для измерения вариации применяют следующие обоб­щающие показатели: к абсолютным относят размах вариа­ции, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение й дисперсию, к относительным — коэффициент вариации.

Размах вариации (R), или размах колебаний, представляет

собой разность между максимальным (xmin) и минимальным

(xmax) значениями признака в изучаемой совокупности:

(6.1)

Размах вариации измеряется в тех же единицах, что и вари­анты ряда. Несмотря на простоту расчёта, этот показатель имеет недостаток — он зависит от двух крайних значений признака, не принимая во внимание вариацию остальных его значений.

Более точно характеризуют вариацию признака показа­тели, учитывающие колеблемость всех значений признака — среднелинейное отклонение (l) и среднеквадратическое отклонение ( ). Они измеряются в тех же единицах, что и индивидуальные значения признака, и показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности.

Среднелинейное отклонение представляет собой среднюю величину из абсолютных отклонений (модулей) значений признака каждой единицы совокупности от средней арифме­тической.

Для несгруппированной совокупности среднелинейное от­клонение рассчитывают по формуле средней арифметической

простой:

Для сгруппированных данных (вариационного ряда) сред­нелинейное отклонение определяется по формуле средней

арифметической взвешенной:

(6.3)

Среднеквадратическое отклонение рассчитывается сле­дующим образом:

♦ для несгруппированных данных

(6.4)

п

♦ для сгруппированной совокупности

(6.5)

Дисперсия признака (а ) — это средняя из квадратов от клонений отдельных значений признака от их средней вели чины. Дисперсия рассчитывается следующим образом:

♦ для несгруппированных данных:

(6.6)

п

♦ для вариационного ряда:

(6.7)

При расчёте дисперсии часто используют следующую фор мулу: |[

♦ для несгруппированных данных:

(6.8)

♦ для вариационного ряда:

(6.9)

Дисперсия является неименованной величиной и обладает рядом математических свойств, некоторые из которых заклю­чаются в следующем:

1) дисперсия постоянной величины равна нулю;

2) уменьшение всех значений изучаемого признака (х^ на одну и ту же величину не изменяет величины дисперсии;

3) уменьшение всех значений изучаемого признака (х;) в одно и то же число раз (к раз) уменьшает величину дисперсии в к² раз.

Как отмечалось выше, все рассмотренные показатели, за исключением дисперсии, выражаются в единицах из­мерения варьирующегося признака. Однако это является неудобным при сопоставлении вариации различных призна­ков. Например, вариация выработки продукции на одного работающего и вариация средней заработной платы бу­дут выражаться, соответственно, в единицах продукции и денежных единицах. Это делает невозможным сравнение вариации этих двух показателей. Поэтому для сравнения вариации разных признаков используют относительные по­казатели вариации.

Наиболее распространённым относительным показателем вариации признака выступает коэффициент вариации (V). Он рассчитывается отношением среднего квадратического от­клонения к средней арифметической:

У = °х100| (6.10)

х

Величина этого коэффициента позволяет оценить интен­сивность вариации признака и, следовательно, однородность изучаемой совокупности. Так*, при отсутствии вариации дан­ный показатель равен нулю, а при её увеличении растёт и значение коэффициента вариации. Чем выше его величи­на, тем больше разброс значений признака вокруг средней и, следовательно, более неоднородна исследуемая совокуп­ность.