48. Квадратична функція та її властивості.
Окремою частиною задач опуклого програмування є задачі квадратичного програмування. До них належать задачі, які мають лінійні обмеження, а функціонал являє собою суму лінійної і квадратичної функцій:
Квадратична функція n змінних називається квадратичною формою і може бути подана у вигляді:
,
де
,
,
,
причому
матриця С
завжди симетрична, тобто
для всіх
.
Квадратична форма Z(X) називається від’ємно означеною, якщо для всіх Х, крім Х = 0, значення Z(X) < 0 (якщо Z(X) ≤ 0, то маємо від’ємно напівозначену квадратичну форму), у протилежному разі Z(X) є додатно означеною (якщо Z(X) ≥ 0, то маємо додатно напівозначену квадратичну форму).
Квадратична форма Z(X) називається неозначеною, якщо вона додатна для одних значень Х і від’ємна для інших.
49. Постановка задачі квадратичного програмування та її математична модель.
Окремою частиною задач опуклого програмування є задачі квадратичного програмування. До них належать задачі, які мають лінійні обмеження, а функціонал являє собою суму лінійної і квадратичної функцій:
Деякі
умови утворюють стосовно змінних
систему (n + m)
рівнянь з 2(n + m)
невідомими.
Інші
умови означають, що змінні
не можуть одночасно мати додатні
значення, тобто входити в базис разом.
Якщо деякі k
компонент вектора
додатні, то відповідні їм компоненти
вектора V
дорівнюють нулю і лише (n – k)
компонент відмінні від нуля (додатні).
Отже, разом
будуть мати не більш ніж n
додатних компонент. З аналогічних
міркувань випливає, що разом з
буде n + m
відмінних від нуля компонент, тобто це
може бути базисний розв’язок системи,
що утворена умовами. Для знаходження
такого розв’язку можна застосувати
симплексний метод.
Якщо зазначена система рівнянь має допустимий план (він буде єдиним), то оптимальний план відповідної задачі квадратичного програмування також існує.
50. Градієнтні методи розв’язання задач нелінійного програмування та їх класифікація.
Градієнтні методи належать до наближених методів розв’язування задач нелінійного програмування і дають лише певне наближення до екстремуму, причому за збільшення обсягу обчислень можна досягти результату з наперед заданою точністю, але в цьому разі є можливість знаходити лише локальні екстремуми цільової функції. Зауважимо, що такі методи можуть бути застосовані лише до тих типів задач нелінійного програмування, де цільова функція і обмеження є диференційовними хоча б один раз. Зрозуміло, що градієнтні методи дають змогу знаходити точки глобального екстремуму тільки для задач опуклого програмування, де локальний і глобальний екстремуми збігаються.
В основі градієнтних методів лежить основна властивість градієнта диференційовної функції — визначати напрям найшвидшого зростання цієї функції. Ідея методу полягає у переході від однієї точки до іншої в напрямку градієнта з деяким наперед заданим кроком.
Метод Франка — Вульфа, полягає в тому, що його процедура передбачає визначення оптимального плану задачі шляхом перебору розв’язків, які є допустимими планами задачі.