36 Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні задач лінійного програмування.

теорема_1

Якщо одна із спряжених задач має розв язок то друга задача теж має розвязок і значення цієї функції співпадатимуть.

Х*=(x*1,x*2,x*3…x*n);Y*=(y*1,y*2,y*3…y*n); Fmax=F(x*) => Zmin=Z(y*) Fmax=Zmin; Max прибуток F підприємство має від реалізації оптимального плану х*, однак ту ж суму він отримає від продажу ресурсів за оптим. Цінами у*.

Теорема_2

При підстановці оптимального плану х* в і-те обмеження прямої задачі можна отримати 2 варіанти оцінки ресурсів, якщо маємо знак (=), то ресурс викор. Повністю, він є дефіцитним тобто цінним. його треба поповнювати, його двоїста оцінка є додатнім числом.

Ai1 * X*1 – Ai2 * X*2 +…+Ain * X*n <або= Bi1=> Y*i>або= 0

Теорема_3

Компоненти оптимального плану Y*i дають оцінку дефіцитних і недефіцитних ресурсів, а кожне додатнє значення двоїстої оцінки характеризує приріст цільової ф-ції F, зумовлений малими змінами на одиницю/ відповідного запасу дефіцитних ресурсів)

В симплекс таблиці значення двоїстих оцінок знаходь в останньому перевірочному рядку навпроти баз. змінних прямої задачі.

Y*1=s\3 –p. A

Y*2=0 – p. B – не дефіцит.

Y*3=1\3 – p. C

Y*4=0 –p. D – не дефіцит.

37 Аналіз розв’язків лінійних економіко-математичних моделей. Оцінка рентабельності продукції. Доцільність введення нової продукції.

Показники рентабельності використовують для оцінки результатів діяльності підприємства, його структурних підрозділів, у ціноутворенні, інвестиційній політиці, для порівняльного аналізу споріднених підприємств, що виробляють таку саму продукцію, для вибору варіантів формування асортименту і структури продукції, аналізу раціональності виробництва продукції.

Для прямої задачі

X1 > 0; X2 > 0- виробництво обох видів продукції є рентабельним якщо якась змінна = 0, то вироб. Є нерентабельним.

Для двоїстої задачі

Підставимо оптимальні значення у* в свої обмеження 1\3+8\3=3, 2\3+4\3=2 => отже виробн. Є рентабельнішим ніж продаж.

Для прямої задачі

X3 і X4 характер. Залишки ресурсів від витрат на виробниц. X*3=0,

X*4=0 => ресурси витратилися повністю, вони є дефіцитними.

Для двоїстої задачі

За теорем 2 двоїсті оцінки дефіцитності ресурсів є додатні числа.

38 Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.

Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо деяке значення двоїстої оцінки уі в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка уі > 0, то і-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним. Відомо (третя теорема двоїстості), що величина двоїстої оцінки показує, наскільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю.

Статус ресурсів можна визначати трьома способами. Перший — підстановкою значень вектора Х* (оптимального плану виробництва) у систему обмежень прямої задачі.Другий спосіб — через додаткові змінні прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо більша від нуля — недефіцитний.Третій спосіб — за допомогою двоїстих оцінок. Якщо уі > 0, то зміна (збільшення або зменшення) обсягів і-го ресурсу приводить до відповідної зміни доходу підприємства, і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо ж уі = 0, то і-й ресурс недефіцитний.

39 Аналіз коефіцієнтів цільової функції задач лінійного програмування.

Під впливом різних обставин ціна одиниці продукції на підприємстві може змінюватися.І тому завжди потрібно знати в межах яких змін ціни продукції кожного виду структура оптимального плану в-ва залишиться постійною.

Перетворення симплекс таблиці при зміні коефіцієнтів цільової ф-ції стосуються лише елементів оцінкового рядка. Симплекс-таблиця,яка відповідає оптимальному плану,зберігає свій вигляд за винятком елементів стовчика Сбаз. Що своєю чергою впливає на значення всіх ненульових оцінок.Зміна коефіцієнта цільової функції небазисної змінної впливає на оцінку лише цієї змінної. Допустимо, що це коефіцієнт і за припущенням у даній задачі . Нехай цей коефіцієнт зміниться на величину . Тоді для задачі з цільовою функцією (3.49) в останній симплексній таблиці зміниться лише одна оцінка, що відповідає небазисній змінній :

, де — оцінка вектора при змінній задачі. Дана оцінка має бути невід’ємною, отже:

.

Для небазисної змінної діапазон стійкості оптимального плану визначається нерівністю:

. (3.52)

Тобто для коефіцієнтів цільової функції при небазисних змінних існує лише верхня межа зміни діапазону