45. Метод множників Лагранжа. Теорема Лагранжа. Алгоритм розв’язування задачі на безумовний екстремум.

Розглянемо метод множників Лагранжа на прикладі такої задачі нелінійного програмування:

Z =f (х₁, х₂... х_п) —> mах (min) за умов

q1(x1,x2,…xn)=bi,i=1, де функція f (х1, x₂, ..., х_п) i q1(x1, x2, …xn) диференційовані.

Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні даної задачі простішою: на знаходження екстремуму складнішої функції, але без обмежень. Ця функція називається функцією Лагранжа і подається у вигляді

де λi— не визначені поки що величини, так звані множники Лагранжа.

Знайшовши частинні похідні функції L за всіма змінними і прирівнявши їх до нуля:

запишемо систему

що є, як правило, нелінійною.

Розв'язавши цю систему, знайдемо X* =(х1, x2, ..., х_п) i λ0= (λ1, λ ₂, ..., λm) — стаціонарні точки. Оскільки їх визначено з необхідної умови екстремуму, то в них можливий максимум або мінімум.

46. Поняття про опуклі функції. Геометрична інтерпретація задачі опуклого програмування на площині.

Опукле програмування розглядає методи розв’язування задач нелінійного програмування, математичні моделі яких містять опуклі або угнуті функції.

Загальний вигляд задачі опуклого програмування такий:

, (1.1)

, ; (1.2)

, (1.3)

де , — угнуті функції.

Аналогічний вигляд має задача для опуклих функцій.

Позначимо: , тоді , і маємо:

, (8.34)

; (8.35)

, (8.36)

де , — опуклі функції.

Множина допустимих планів задачі, що визначається системою (1.2), є опуклою.

Як наслідок теорем 1.2 та 1.3 справджується таке твердження: точка локального максимуму (мінімуму) задачі опуклого програмування (1.1)—(1.3) є одночасно її глобальним максимумом (мінімумом).

Отже, якщо визначено точку локального екстремуму задачі опуклого програмування, то це означає, що знайдено точку глобального максимуму (мінімуму).

47. Сідлова точка та необхідні і достатні умови її існування. Теорема Куна-Таккера.

Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа, якщо для всіх виконується співвідношення:

. (1.1)

Для диференційовних функцій та знайдемо необхідні умови існування сідлової точки.

Об’єднуючи всі три випадки для невід’ємних координат, маємо необхідні умови сідлової точки:

для тих індексів j, де .

Для недодатних координат необхідна умова має вигляд:

для тих індексів j, де .

І нарешті, якщо на знак х_j умови не накладаються, то необхідною умовою є:

, — довільного знака.

Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння: .

Розглядаючи другу частину нерівності (1.1), за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці:

для тих індексів і, де ,

для тих індексів і, де ,

для тих індексів і, де має довільний знак.

Отже, справджується рівняння: .

Сукупність цих співвідношень становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка функції Лагранжа для точок, що належать множині . При цьому повинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів .

Теорема Куна—Таккера:

Вектор Х^* є оптимальним розв’язком задачі тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , що при для всіх точка є сідловою точкою функції Лагранжа ,і функція мети для всіх угнута, а функції — опуклі.