- •1. Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
- •2. Аксематическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельная теорема Пуассона.
- •5. Классификация случайных величин.
- •2) Непрерывные случайные величины.
- •6. Математическое ожидание и его свойства.
- •7. Дисперсия и ее свойства.
- •Свойства дисперсии:
- •8. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойства характеристической функции :
- •Способы описания св:
- •9.Теорема об обращении характеристической функции.
- •1 1. Виды сходимости случайных последовательностей.
- •13.Критерий сходимости в среднем квадратичном.
- •15. Усиленный закон больших чисел.
- •16. Центральная предельная теорема.
- •10.Производящие функции и их свойства.
- •17. Определение случайного процесса.
- •19. Статистические средние характеристики случайных процессов.
- •20. Сходимость в среднем квадратичном для случайных процессов.
- •21. Непрерывность случайных процессов.
- •22. Дифференцируемость случайных процессов.
- •23. Интегрирование случайных процессов.
- •24. Стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •25. Процессы с независимыми приращениями.
- •26. Гауссовский случайный процесс.
- •27. Винеровский случайный процесс.
- •28. Марковские случайные процессы и цепи маркова определения.
- •29. Однородные цепи Маркова.
- •32. Уравнения Чепмена-Колмогорова.
- •33. Нахождение вероятностей переходов с помощью производящих функций.
- •34. Классификация состояний цепи Маркова по арифметическим свойствам вероятностей перехода
- •35. Свойство периода состояния.
- •36. Классификация состояний по асимптотическим свойствам переходных вероятностей
- •37. Критерий возвратности состояний.
- •38.Эргодические цепи Маркова
- •40. О средних временах переходов между состояниями
- •41. Стационарные цепи Маркова
- •42. Оптимальные стратегии в марковских цепях
- •43. Система диф.Ур-ий Колмогорова для однородной цепи Маркова с конеч.Числом состояний.
- •44. Процесс гибели и размножения
- •49. Обобщенное уравнение Маркова
- •50.Диффузионные процессы
- •51. Обратное уравнение Колмогорова
- •45. Марковские системы массового обслуживания.
- •Рассмотрим систему с простейшим потоком и экспоненциальным обслуживанием
- •46. Система обслуживания м / м / 1
- •47.Система м / м / n / 0
- •48. Система обслуживания м / м / n
- •52.Прямое уравнение Колмогорова для диффузных процессов
- •53. Стохастический интеграл Ито
- •54. Стохастический интеграл в форме Стратоновича
- •55. Стохастические дифференциальные уравнения
- •39. Закон больших чисел для цепей Маркова с конечным числом состояний.
- •57. Стационарность гауссовского случ.Процесса.
- •58. Теорема Бохнера., спектральная плотность случ.Процесса.
- •60. Мартингалы.
- •18. Пуассоновский случ.Процесс
- •Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
25. Процессы с независимыми приращениями.
Опр. Случайный процесс ξ(t) называется процессом с независимыми приращениями, если для любого n и для любых моментов времени t1<t2<…<tn СВ ξ(t1), ξ(t2)-ξ(t1),…, ξ(tn)-ξ(tn-1) независимы.
Опр. Процесс с независимыми приращениями ξ(t) называется однородным процессом, если ξ(0)=0 и для любых моментов времени t1<t2 распределение СВ ξ(t2)-ξ(t1) зависит только от разности t2-t1 и не зависит от t1.
Примером процесса с независимыми приращениями является пуассоновский процесс.
Назовем пуассоновским процессом v(t) процесс с независимыми приращениями, для которого при любых t1<t2 СВ v(t2)-v(t1) принимает только неотрицательные целые значения, v(0)=0, а также
Найдем средние характеристики пуассоновского процесса. Из (1) и того, что имеем
При помощи (1),(2) и (*) найдем ковариационную функцию
Дисперсия процесса имеет вид
Корреляционная функция равна
Т.к. корреляционная функция является непрерывной, то пуассоновский является непрерывным в среднем квадратичном. Также пуассоновский процесс не дифференцируем в среднем квадратичном.
26. Гауссовский случайный процесс.
Пусть случайный процесс ξ(t) задан n сечениями ξ(t1), ξ(t2),…, ξ(tn), для которых известны математические ожидания Mξ(ti)=ai, i=1,n , и матрица ковариаций где
Опр. Случайный процесс ξ(t) называется гауссовским, или нормальным, если его n-мерная плотность распределения является нормальной:
для любого n>0. Здесь |K|-определитель матрицы К, Kij- алгебраическое дополнение элемента K(ti,tj) матрицы K.
Т.(центральная предельная теорема для случайных процессов). Пусть дана последовательность сумм случайных процессов
и выполняются следующие условия:
a) при фиксированном n и любых моментах времени CB независимы и имеют конечные моменты
б) существует предел где корреляционная функция процесса ηn(t);
в) суммы ηn(t) при любом t удовлетворяют условию Линдеберга
Тогда случайный процесс ηn(t) при n→∞ сходится к гауссовскому случайному процессу с нулевым математическим ожиданием и дисперсией R(t1, t2).
27. Винеровский случайный процесс.
Опр. Однородный гауссовский процесс с независимыми приращениями ξ(t), для которого
называется винеровским (или процессом броуновского движения).
Ковариационная функция такого процесса при t1<t2 имеет вид
Отсюда следует, что винеровский процесс является непрерывным, но не является дифференцируемым в среднем квадратичном.
Ковариационная матрица винеровского процесса записывается в виде:
Опр. Винеровский процесс, у которого σ=1, ξ(0)=0, называется стандартным винеровским процессом и обозначается W(t).
n-мерная плотность распределения винеровского процесса имеет вид