10.Производящие функции и их свойства.

Когда СВ ξ является целочисленной, т.е. множество ее значений- числа натурального ряда, то характеристическая функция является функцией z=e^it и, согласно свойству 8 для математического ожидания , имеет вид

где р_к=Р(ξ=к)б к=0,1,2,....

Опред. Функция ψ_ξ(z)=р₀+р₁z+p₂z²...+р_кz^k+... |z|<1

наз-ся производящей функцией СВ ξ.

Свойства производящей функции:

1.Функция ψ_ξ(z)=φ_ξ(z), рассматриваемая как функция аргумента t, явл. периодичной с периодом 2п, поэтому достаточно знать поведение ψ_ξ(z) на окружности |z|<1, чтобы полностью описать все свойства φ_ξ(z).

2.Из опред. следует, что ψ_ξ(0)=р₀, ψ_ξ(1)=р₀+р₁+...+р_к+...=1.

3.По значетим, что ψ_ξ(z) однозначно определяются вероятности р₀,р₁,...,р_к,... .

4 . Если M|ξ|<+∞, то

5.Пусть ξ₁,ξ₂,...,ξ_n - целочисленные независимые одинаково распределенные СВ, η- независимая от них целочисленная СВ, M|ξ|<+∞, M|η|<+∞, τ=ξ₁+ξ₂+...+ξ_n, Тогда ψ_т(z)=ψ_η[ψ_ξ1(z)],

6. Пусть ξ и η - независимые СВ. Тогда

17. Определение случайного процесса.

При изучении различных реальных явлений рассматривают всевозможные величины, зависящие от времени: x=x(t). Такие величины принято называть процессами. Говоря о случайных про­цессах, как правило, имеют в виду некоторую СВ ξ(t) меняющу­юся с течением времени t. Будем называть случайным процессом ξ(t) функцию от действительного параметра t T (времени), зна­чения которой при каждом t являются СВ. Строгое определение случайного процесса состоит в следую­щем.

Опр. Набор ξ(t)={ξ(t,w), t T, ω Ω} СВ, опреде­ленных на одном и том же вероятностном пространстве (Ω,F, Р), называется случайной функцией.

Опр. Пусть (Ω,F, Р) - вероятностное прост-во, Т - некоторое множество моментов времени. И пусть каждому ω Ω поставлена в соответствие функция ξ_l=ξ(t)=ξ(t,w), t T, со значениями в п -мерном пространстве (n > 1) такая, что при каж­дом фиксированном t T, функция ξ(t,w) является СВ. Эта функ­ция называется случайным процессом.

Следовательно, случайный процесс - это совокупность СИ, зависящих от времени. Естественно, его можно рассматривать кик функцию двух переменных: t и ω . Как следует из определения, ξ(t,w) является n-мерной СВ при любом фиксированном t.

Опр. При фиксированном ω Ω функция ξ(t,w) называется реализацией (траекторией или выборочной функцией) случайного процесса. Совокупность всех реализаций случайного процесса называется ансамблем (семейством) реализаций.

Опр. Случайный процесс ξ(t), t T у которого мн-во Т не более чем счетно, наз-я процессом с диск­ретным временем или случайной последовательностью. Если мно­жество Т совпадает с промежутком прямой, например, Т-[0;+∞) , то ξ(t) наз-ся процессом с непрерывным временем.

Опр. При фиксированном t для случайного процесса ξ(t,w) получаем СВ, которую назовем сечением случайного процесса в момент времени t.

Опр. Пусть t₁ <t₂ < …<t_n - некоторые фиксирован­ные моменты времени. Рассмотрим n-мерную СВ (ξ(t₁), ξ(t₂),..., ξ(t_n)). Распределение вероятностей этой СВ назы­вается п-мерным распределением вероятностей случайного про­цесса, а ф.р. этой СВ

соответственно п -мерной ф.р. случайного процесса

Опр. Случайным процессом ξ(t), заданным на мно­жестве Т, t T наз-ся семейство распределений (6.7), удов­летворяющее условиям согласованности. Набор функций для n=1,2,... называют конечномерными распределениями случайного процесса.

Опр. Если существует неотрицательная функция , такая, что

То она наз-ся n-мерной плотностью распределения случайного процесса.

Характеристическая функция конечномерного распределения: