- •1. Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
- •2. Аксематическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельная теорема Пуассона.
- •5. Классификация случайных величин.
- •2) Непрерывные случайные величины.
- •6. Математическое ожидание и его свойства.
- •7. Дисперсия и ее свойства.
- •Свойства дисперсии:
- •8. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойства характеристической функции :
- •Способы описания св:
- •9.Теорема об обращении характеристической функции.
- •1 1. Виды сходимости случайных последовательностей.
- •13.Критерий сходимости в среднем квадратичном.
- •15. Усиленный закон больших чисел.
- •16. Центральная предельная теорема.
- •10.Производящие функции и их свойства.
- •17. Определение случайного процесса.
- •19. Статистические средние характеристики случайных процессов.
- •20. Сходимость в среднем квадратичном для случайных процессов.
- •21. Непрерывность случайных процессов.
- •22. Дифференцируемость случайных процессов.
- •23. Интегрирование случайных процессов.
- •24. Стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •25. Процессы с независимыми приращениями.
- •26. Гауссовский случайный процесс.
- •27. Винеровский случайный процесс.
- •28. Марковские случайные процессы и цепи маркова определения.
- •29. Однородные цепи Маркова.
- •32. Уравнения Чепмена-Колмогорова.
- •33. Нахождение вероятностей переходов с помощью производящих функций.
- •34. Классификация состояний цепи Маркова по арифметическим свойствам вероятностей перехода
- •35. Свойство периода состояния.
- •36. Классификация состояний по асимптотическим свойствам переходных вероятностей
- •37. Критерий возвратности состояний.
- •38.Эргодические цепи Маркова
- •40. О средних временах переходов между состояниями
- •41. Стационарные цепи Маркова
- •42. Оптимальные стратегии в марковских цепях
- •43. Система диф.Ур-ий Колмогорова для однородной цепи Маркова с конеч.Числом состояний.
- •44. Процесс гибели и размножения
- •49. Обобщенное уравнение Маркова
- •50.Диффузионные процессы
- •51. Обратное уравнение Колмогорова
- •45. Марковские системы массового обслуживания.
- •Рассмотрим систему с простейшим потоком и экспоненциальным обслуживанием
- •46. Система обслуживания м / м / 1
- •47.Система м / м / n / 0
- •48. Система обслуживания м / м / n
- •52.Прямое уравнение Колмогорова для диффузных процессов
- •53. Стохастический интеграл Ито
- •54. Стохастический интеграл в форме Стратоновича
- •55. Стохастические дифференциальные уравнения
- •39. Закон больших чисел для цепей Маркова с конечным числом состояний.
- •57. Стационарность гауссовского случ.Процесса.
- •58. Теорема Бохнера., спектральная плотность случ.Процесса.
- •60. Мартингалы.
- •18. Пуассоновский случ.Процесс
- •Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
49. Обобщенное уравнение Маркова
Лемма 12.1. Пусть — некоторые СВ, В— случайное событие. Тогда
, (12.1)
где - условная ф.р. СВ , при условии, что . Док-во. Введем случайные события
где - точки разбиения переменной у, Тогда
Далее, используя определение условной вероятности и условной ф.р., будем иметь
Говорят, что случайный процесс непрерывен, если за малые промежутки времени лишь с малой вероятностью он может получить заметные по величине приращения.
Пусть - марковский процесс. Полная вероятностная характеристика этого процесса определяется функцией , которая называется переходной функцией марковского процесса.
Опр. Случайный процесс называется непрерывным марковским, если для любых моментов времени
, таких, что ,и любых действительных у выполняется равенство
Т12.1. Переходная функция непрерывного марковского процесса удовлетворяет обобщенному уравнению Маркова (уравнению Чепмена - Колмогорова)
(12.3)
Д-во. В соотношении (12.1) положим а у заменим на z . Тогда, используя (12.2), имеем
откуда и следует (12.3). Отметим некоторые свойства, которым должна удовлетворять функция . Прежде всего для нее, как для ф.р., должны быть выполнены соотношения:
Если существует плотность
а обобщенное уравнение Маркова имеет вид
, (12.4)
50.Диффузионные процессы
Среди непрерывных марковских процессов особую роль играют диффузионные процессы, которые являются математической моделью движения частицы в процессе диффузии, а также предельной моделью для дискретных процессов, описывающих различные биологические явления.
Опр. Марковский процесс называется диффузионным, если его переходная функция удовлетворяет следующим условиям.
(12.5)
Это более точное условие непрерывности случайного процесса. Оно требует, чтобы вероятность того, что , была величиной более высокого порядка малости, чем .
2. Существует функция такая, что
(12.6)
3. Существует предел
(12.7)
Заметим, что левые части равенств (12. 6), (12. 7) зависят от 5, но, в силу определения непрерывности процесса, т.е. в силу (12.5), эта зависимость является лишь кажущейся.
Для того чтобы выяснить физический смысл функций a(t, x) и b(t,x), мы несколько усилим требование непрерывности процесса. А именно, предположим, что вместо (12.5) при любом имеет место соотношение
(12.8)
Легко видеть, что из (12.8) следует (12.5). Условия (12.6), (12.7) могут быть записаны теперь в виде
Но
является математическим ожиданием изменения процесса за время ,а
есть математическое ожидание квадрата изменения процесса и, следовательно, пропорционально кинетической энергии в предположении, что является координатой движущейся под влиянием случайных воздействий точки. Поэтому из (12.9), (12.10) ясно, что функция a(t, x) есть средняя скорость изменения процесса (и называется коэффициентом сноса, или переноса), а функция b(t, x) пропорциональна средней кинетической энергии изучаемой нами системы (называется коэффициентом диффузии).
Отметим, что при некоторых ограничениях на задание коэффициентов a(t, x), b(t, x) полностью определяет марковский процесс.