48. Система обслуживания м / м / n

Это многолинейная система с ожиданием. Если обслуживанием заявок заняты все n линий, то интенсивноситт облуживания равна n . Граф переходов для этой СМО имеет вид

. . . . . .

2 (n-1) n n n

Стационарное распределение существует, если

Уравнения равновесия имеют вид

откуда, получаем

Условие нормировки в этом случае принимает вид

откуда следует, что

Среднее число заявок в системе в стационарном режиме равно

.

52.Прямое уравнение Колмогорова для диффузных процессов

Теорема.Пусть имеется диффузный процесс, т. е. выполняются соотношения

Существует плотность распределения и существуют производные

Тогда плотность f удовлетворяет уравнению

которое называется прямым уравнением Колмогорова (уравнением Колмогорова – Фоккера – Планка)

Доказательство.

Пусть R(y) - неотріцательная непрерывная функція такая, что R(y) = 0, если у < a и у > b

(4)

R(y)

a b y

Рассмотрим интеграл

Солгасно обобщенномцу уравнению Маркова

(f )

и, если заменить s на , то

.

Поэтому

После замены в двойном интеграле у на z, а z на у, получим

(5)

Разложим функцию R(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z = y:

.

Так как в силу ограничения функции R(z) и условия (1)

, то выражение в квадратной скобке (5) с учетом разложения в ряд Тейлора принимает вид:

Таким образом,

Далее, с учетом(2), (3) и (4) , имеем

Воспользовавшись формулой интегрирования по частям и равенствами (4), находим, что

В результате подстановки полученных выражений в (6) получаем

или

.

Так как на промежутке функция R(y) не меняет знак, последнее соотношение может быть справедливо только тогда, когда

Таким образом, получили уравнение Колмогорова – Фоккера- Планка, которое вместе с начальным условием однозначно определяет функцию .

53. Стохастический интеграл Ито

Разобьем интервал точками а = t₁ < t₂ < …< t_n-1 = b, и рассмотрим интегральную сумму

Если существует предел в среднем квадратичном (lim через точки)

то он называется стохастическим интегралом в форме Ито.

Так как диффузионный процесс недифференцируем ни в одной точке, то интеграл Ито обладает рядом свойств, отличных от интеграла Римана.