- •1. Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
- •2. Аксематическое определение вероятности. Свойства вероятности.
- •3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельная теорема Пуассона.
- •5. Классификация случайных величин.
- •2) Непрерывные случайные величины.
- •6. Математическое ожидание и его свойства.
- •7. Дисперсия и ее свойства.
- •Свойства дисперсии:
- •8. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойства характеристической функции :
- •Способы описания св:
- •9.Теорема об обращении характеристической функции.
- •1 1. Виды сходимости случайных последовательностей.
- •13.Критерий сходимости в среднем квадратичном.
- •15. Усиленный закон больших чисел.
- •16. Центральная предельная теорема.
- •10.Производящие функции и их свойства.
- •17. Определение случайного процесса.
- •19. Статистические средние характеристики случайных процессов.
- •20. Сходимость в среднем квадратичном для случайных процессов.
- •21. Непрерывность случайных процессов.
- •22. Дифференцируемость случайных процессов.
- •23. Интегрирование случайных процессов.
- •24. Стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •25. Процессы с независимыми приращениями.
- •26. Гауссовский случайный процесс.
- •27. Винеровский случайный процесс.
- •28. Марковские случайные процессы и цепи маркова определения.
- •29. Однородные цепи Маркова.
- •32. Уравнения Чепмена-Колмогорова.
- •33. Нахождение вероятностей переходов с помощью производящих функций.
- •34. Классификация состояний цепи Маркова по арифметическим свойствам вероятностей перехода
- •35. Свойство периода состояния.
- •36. Классификация состояний по асимптотическим свойствам переходных вероятностей
- •37. Критерий возвратности состояний.
- •38.Эргодические цепи Маркова
- •40. О средних временах переходов между состояниями
- •41. Стационарные цепи Маркова
- •42. Оптимальные стратегии в марковских цепях
- •43. Система диф.Ур-ий Колмогорова для однородной цепи Маркова с конеч.Числом состояний.
- •44. Процесс гибели и размножения
- •49. Обобщенное уравнение Маркова
- •50.Диффузионные процессы
- •51. Обратное уравнение Колмогорова
- •45. Марковские системы массового обслуживания.
- •Рассмотрим систему с простейшим потоком и экспоненциальным обслуживанием
- •46. Система обслуживания м / м / 1
- •47.Система м / м / n / 0
- •48. Система обслуживания м / м / n
- •52.Прямое уравнение Колмогорова для диффузных процессов
- •53. Стохастический интеграл Ито
- •54. Стохастический интеграл в форме Стратоновича
- •55. Стохастические дифференциальные уравнения
- •39. Закон больших чисел для цепей Маркова с конечным числом состояний.
- •57. Стационарность гауссовского случ.Процесса.
- •58. Теорема Бохнера., спектральная плотность случ.Процесса.
- •60. Мартингалы.
- •18. Пуассоновский случ.Процесс
- •Классическое и геометрическое определение вероятности, элементы комбинаторики
36. Классификация состояний по асимптотическим свойствам переходных вероятностей
Используя марковское свойство, можно показать что (1). Для каждого состояния введем величину , которая является вероятностью того, что цепи Маркова, выходящая из состояния , рано или поздно вернется в это состояние.
Опр.: Состояние называется возвратным, если , и невозвратным, если . Каждое возвратное состояние можно отнести к одному из двух типов в зависимости от величины среднего времени возвращения (от его конечности или бесконечности). Величина по определению математического ожидания равна среднему числу шагов, за которые цепи Маркова возвращается в состояние , т.е. для цепи с дискретным временем характеризует среднее время возвращения в состояние . Величина характеризует интенсивность возвращения в состояние.
Опр.: Возвратное состояние называется положительным, если , и нулевым, если .
37. Критерий возвратности состояний.
Т.1(критерий возвратности состояний). Состояние возвратно тогда и только тогда, когда (2). Если состояние возвратно и , то состояние также возвратно.
Д-тво: Из (1) следует , и, значит, . Поменяем местами индексы суммирования. Имеем
. Отсюда следует, что если , то , и поэтому состояние невозвратно. Пусть выполняется соотношение (2). Тогда для . Поэтому , откуда получаем . Итак, если (2) выполнено, то , т.е. состояние возвратно.
Т.2: Если состояние невозвратно, то для любого , и, значит, .
Т.3: Все состояния апериодической неразложимой цепи Маркова возвратны.
38.Эргодические цепи Маркова
Многие Марковские цепи обладают свойством эргодичности: пределы не только существуют, не зависят от , образуют распределение вероятностей, т.е. , но и таковы, что . Такие распределения , называются эргодическими.
Опр.: Цепь Маркова с дискретным временем называется эргодической, если .
Теорема (эргодическая теорема для цепей Маркова с дискретным временем и конечным числом состояний). Пусть . Тогда: 1) если такое, что (1), то числа такие, что (2) и (3); 2) числа удовлетворяют системе уравнений . (4)
Док-во: Введем обозначения . Т.к. , то , откуда , а также , т.е. наибольшая из вероятностей с ростом не может возрастать, а наименьшая не может убывать. Покажем , тогда (3) выполняется. Для этого покажем, что . (5)
Пусть согласно (1). Тогда . Откуда . Также покажем . Объединяя эти неравенства, получаем и, следовательно, . Для некоторой подпоследовательности , и т.к. разность монотонна по , то соотношение (5) выполняется, следовательно имеет место соотношение (3). При , откуда .
Докажем вторую часть теоремы. Запишем прямое уравнение Чепмена-Колмогорова . Тогда и, используя (3), получаем систему уравнений (4).