46. Система обслуживания м / м / 1

Определим вероятности переходов для процесса Переход процесса из состояния i в состояние за время означает, что в сістеме за это время должно обслужіться на одну заявку больше, чем поступіло. Следовательно, из формулы полной вероятности имеем

Но, так как , поскольку k = 1,2, …, то из следующих формул:

следует, что

(1)

Аналогично, переход процесса из состояния i в состояние i + 1 за время означает, что в систему должно за это время поступить на одну заявку больше, чем обслужиться. Поэтому

а из равенств:

вытекает, что

(2)

Кроме того, и учитывая что и

, получаем

(3)

Аналогично можно найти

(4)

Таким образом, из (1) – (4) следует, что является процессом гибели и размножения со следующим графом переходов

. . .

. . .

Из условия эргодичности для процесса гибели и размножения следует, что если

то существует единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим, называется коэффициентом загрузки системы. Уравнения равновесия: имеют вид

откуда находим

Вероятность можно найти, используя условие нормировки , откуда следует, что , и поэтому т. е. число заявок в такой СМО в стационарном имеет геометрическое распределение.

Легко найти производящую функцию такого распределения:

Отсюда получаем выражение для среднего числа заявок в системе (в очереди и на обслуживании) с стационарном режиме:

Ясно, что , т. е при стремлении 1 очередь в СМО неограниченно растет.

При рассмотрении последующих СМО выражения для переходных вероятностей находятся подробным образом, как в предыдущем случае. Поэтому в дальнейшем мы сразу будем изображать граф переходов для соответствующего процесса гибели и размножения. Нужно только учесть, что если обслуживанием заявок заняты k линий, то интенсивность обслуживания равна k .

47.Система м / м / n / 0

Это система с потерями без ожидания. Если заявка поступает в систему в иомент, тогда обслуживанием занятяты все n линий, то она теряется. Такая система была введена датским инженером Эрлангом в начале прошлого столентия и применена в качестве модели обработки вызовов, поступающих на телефонную станцию. Граф переходов для такой СМО имеет вид

k-1

k

n-1

n

. . . . . .

2 k n

Поскольку число состояний системы конечно, то единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим, существует всегда при любых параметрах , . Запишем уравнения равновесия для стационарных вероятностей состояний:

. Отсюда получаем

(1)

Вероятность , как всегда можем найти из условия нормировки, которой в данном случае имеет вид , откуда

.

Таким образом,

В частности, вероятность потери заявки равна (формула потерь Эрланга)

.