1.7. Гироскоп как звено системы автоматического регулирования

Из вида уравнений, описывающих движение гироскопа, видно, что он является доста- точно сложным нелинейным объектом. В связи с этим при исследовании работы и при проектировании систем, включающих в свой состав гироскоп, возникает задача его пред- ставления линейной моделью, позволяющей применить эффективные методы анализа устойчивости и точности, развитые в теории линейных систем автоматического регули- рования. Для получения линейной модели, как известно и как это уже делалось в разделе

1.3, нелинейные функции, входящие в уравнения, раскладываются в ряд в окрестности исследуемого опорного (невозмущенного) движения и сохраняются лишь первые, ли- нейные члены этих разложений. Полученная линейная система и используется в качестве линейной модели, описывающей возмущенное движение в отклонениях от опорного.

Выпишем, в частности, уравнения возмущенного движения гироскопа в трехстепен- ном подвесе (рис.9), полагая, что невозмущенному (опорному) движению соответствуют значения (t)=0, (t)=0.

_{Из уравнений (29) получим}

_{Ja a}&&

^J _b ^b&&

_{H b}^&

H a^&

^M _a ^,

₍₃₂₎

^M _b ^,

где J =J_э+J_ky+J_py, J =J_э+J_kx. На основании этих уравнений трехстепенной гироскоп с по- зиций теории автоматического регулирования можно рассматривать как линейное звено с двумя входами (М и М ) и двумя выходами ( и ). Если ввести обозначения К =

1/Н, Т =J /Н, Т = J /Н, T J_a J _b / H , то передаточные функции этого звена, вытекаю-

щие из (32),могут быть записаны в виде:

_{- по прямым цепям, т.е. от М к и от М к}

_{2 2 1 2 2 1}

^{W M} _a^a

^KT_b ^{(T p}

^{1) , W M} _b ^b

^KT_a ^{(T p}

1) ,

(33)

_{- по перекрестным цепям, т.е. от М к и от М к}

^{W M} _a ^b

^{W M} _b^a

K p(T ² p² 1) ¹

(34)

Таким образом, по прямым цепям трехстепенной гироскоп является колебательным звеном, по перекрестным - интегрирующим колебательным. Если же ограничиться рам- ками прецессионной теории, т.е. положить J =J = 0, то можно установить, что связь по

прямым цепям отсутствует ( W _{M a} a

^{W M} _b ^b

0 ), а по перекрестным цепям гироскоп

представляет собой интегрирующее звено (W _{M a} b

^W M _ba

K / p ).

Выше были получены передаточные функции трехстепенного гироскопа. Анало- гичным образом могут быть получены передаточные функции и других гироскопических приборов, рассматриваемых в последующих разделах.

В заключение обратимся еще раз к передаточным функциям (33), (34), которые свидетельствуют о наличии в движении трехстепенного гироскопа собственных колеба- ний с круговой частотой = 1/Т. Как уже выяснено выше, эти колебания есть нутаци- онное движение гироскопа. Если пренебречь наличием подвеса, т.е. положить J = J = J_э, то для круговой частоты нутационных колебаний получим выражение

n₁ = Н/J_э є n,

_{выведенное ранее в разделе 1.3. С учетом же инерционности элементов подвеса имеем}

ⁿ₁ ^{H /}

^J_a ^J _b

^{H / J} _э ^{n .}

Таким образом, выявлен важный для практики факт: наличие подвеса гироскопа приводит к снижению частоты нутационных колебаний. Впрочем, этот факт вытекает и из общей теоремы, доказываемой в аналитической механике, согласно которой увеличение масс элементов механической системы приводит к снижению частот собственных колеба- ний системы.

Еще одно обстоятельство, которое целесообразно отметить в связи с изложенным выше, состоит в следующем. При анализе движения трехстепенного гироскопа не учиты- валось наличие (хотя и, как правило, малого) вязкого трения по осям подвеса. Оно приводит к затуханию со временем нутационных колебаний гироскопа. Это обстоятельст- во является еще одним аргументом в пользу допустимости использования прецессион- ной теории при решении прикладных задач гироскопии и, прежде всего, задач, связан- ных с использованием гироскопов в системах управления. Однако, о наличии в гиро- скопах нутационных колебаний необходимо помнить с тем, чтобы избежать неблагопри- ятных резонансных явлений.