1.2. Уравнения движения гироскопа

Как уже упоминалось, под гироскопом понимается осесимметричное тело, вращаю- щееся вокруг оси симметрии с достаточно большой скоростью. Будем полагать, что с осью симметрии тела совпадает ось z. Тогда моменты инерции J_x и J_y одинаковы; обозна- чим их величину J_э. Эта величина называется экваториальным моментом инерции. Ве- личина же J_z называется осевым моментом инерции.

_{Условие, что тело вращается вокруг оси симметрии с "достаточно большой" угловой}

_{скоростью означает, что величинами} a^&

том этого, как вытекает из (2) и (4),

^{G J} _z^{j&z o,}

_{и b}^&

_{можно пренебречь по сравнению с} j^& _{. С уче-}

т.е. кинетический момент гироскопа можно считать направленным по оси его собст-

венного вращения (называемой далее для краткости осью гироскопа), а его величину счи- тать равной произведению осевого момента инерции и скорости собственного вращения. Эту величину общепринято обозначать буквой H:

^{H J} _z^j&.

Она является основной характеристикой гироскопа: чем больше H, тем в большей степе-

ни проявляются гироскопические свойства вращающегося ротора.

С учетом указанных выше отличительных особенностей гироскопа динамические уравнения (5) упрощаются. Действительно, принимая во внимание, что

^J _x ^J _y ^J _э^{, J} _z ^{r J} _z^{j& H ,}

_{эти уравнения можно записать в виде:}

J _э p^& J _э q^& _H&

qr Hq M _x ,

rp Hp M _y ,

^M _z ^.

(7)

Вместе с соотношениями (2) и (6) они описывают движение гироскопа.

Полученную систему уравнений целесообразно подвергнуть дальнейшему упроще- нию. В частности, желательно исключить из нее переменную , поведение которой, в от- личие от углов и , при анализе движения гироскопа интереса не представляет. С ис- пользованием приведенных выше формул это можно сделать следующим образом. Значе- ния p, q, r из (2) подставим в первые две формулы (7), после чего полученные два соот- ношения сложим сначала с множителями cos и - sin , а затем с множителями sin и cos . В результате получим

_{J э b}&&

a^{& 2} sin b cos b

H a^& cos b

M _x1,

₍₈₎

^J _э ^{a&& cos b}

_2a^&_b^& _{sin b}

_{H b}^&

^M _y1^,

^{где M} _x1

^M _x ^cosj

^M _y ^{sin j, M} _y1

^M _x ^{sin j}

^M _y ^{cosj - составляющие дейст-}

вующего на гироскоп момента по осям x₁ и y₁ соответственно. Уравнения (8) совместно с третьим уравнением (7) и соотношениями для определения моментов M_x1, M_y1, M_z со- ставляют полную систему уравнений для определения углов и , характеризующих те- кущую ориентацию оси гироскопа или, что то же, системы координат, показанной на рис.1 - Ox₁y₁z₁.

Указанная система координат связана с гироскопом, но не участвует в его собствен-

ном вращении. В честь ученого Резаля, внесшего существенный вклад в теорию гироско-

па, она называется резалевой системой координат. Нетрудно уяснить, что уравнения (8) вместе с третьим уравнением (7) представляют собой те же динамические уравнения, но в проекциях на оси резалевой системы координат.

Теперь заметим, что в приборах, использующих гироскоп, поддерживается постоян- ная скорость его собственного вращения. Поэтому в (8) величину H можно считать кон- стантой. С учетом этого обстоятельства система уравнений (8) при заданных M_x1 и M_y1 полностью описывает движение гироскопа, если под этим движением понимать враща- тельное движение оси гироскопа.

_{Отметим некоторые особенности уравнений (8). Если бы на гироскоп действовал}

_{только момент Mx1 и гироскоп не был разогнан (} ^j&

⁰ ), то его движение описывалось

бы простым уравнением для тела, вращающегося вокруг оси x₁:

^J _э^b&&

^M _x1^,

(9)

интегрированием которого определяется угол поворота гироскопа вокруг x₁. Вследствие же собственного вращения гироскопа, даже при действии только момента M_x1, в левой части уравнения (9), как видно из первого уравнения (8), появляются дополнительные чле- ны. При этом второй из этих членов, т.е. Hcos , при большой величине H значительно превосходит остальные члены левой части, т.е. с достаточной точностью можно записать

_{H a}^& _{cos b}

^M _x1^,

(10)

^{откуда видно, что для разогнанного гироскопа действие момента по оси x}₁ ^{приводит в}

большей мере к изменению угла , т.е. к вращению гироскопа не вокруг оси x₁, а вокруг оси , перпендикулярной x₁. В этом - одна из особенностей гироскопа.

Уравнение (10) и получаемое аналогичным образом из второго уравнения (8) уравне-

ние

H b^&

^M _y1 ⁽¹¹⁾

называются укороченными уравнениями движения гироскопа, или уравнениями прецес- сионного движения (прецессионными уравнениями). Смысл второго названия будет рас- крыт ниже. Укороченные уравнения являются, очевидно, приближенными, но вполне приемлемыми при решении большинства практических задач. Они тем более точны, чем больше H. Большая же величина H обеспечивается соответствующей конструкцией гиро- скопа, при которой достигается наибольшее значение осевого момента инерции, и разго- ном ротора до весьма больших угловых скоростей.

В частности, вместо обычных двигателей в гиро-

скопии используют двигатели, в которых вращаю- щийся ротор располагается не внутри, а вне статора (рис.2), что дает существенный эффект в увеличе- нии осевого момента инерции (так называемый об- ращенный подвес ротора). Что же касается угло- вой скорости вращения ротора, то она составляет величину в несколько десятков тысяч оборотов в минуту.