1.6. Уравнения движения гироскопа во вращающейся системе коор-

До сих пор движение гироскопа рассматривалось в инерциальном пространстве. Ины- ми словами, полагалось, что основание гироскопа, с которым связана система координат и относительно которого определяются углы , ориентации оси гироскопа, сохра-

няет в инерциальном пространстве неизменную ориентацию. Однако, в реальных систе-

мах гироскоп, как правило, устанавливается на основание, которое вращается относи- тельно инерциального пространства, например, непосредственно на объект. В связи с этим рассмотрим задачу определения движения гироскопа относительно введенной в раз- деле 1.1 системы координат , которую теперь будем считать подвижной. Именно, бу- дем полагать, что эта система координат вращается в инерциальном пространстве с угло-

_{вой скоростью} u _{(переносная угловая скорость). За параметрами же относительного}

движения гироскопа относительно системы координат сохраним ранее использовав-

шиеся обозначения.

Для вывода требуемых уравнений следовало бы повторить выкладки разделов 1.1 и

1.2, заменив в них величину ^w на ^{w u}, в частности, добавив в правые части уравнений (2) проекции ^u . Так и следует поступить, когда требуются точные уравнения. Для реше- ния же большинства прикладных задач вполне приемлемо использование приближенных уравнений, получаемых следующим образом.

Полагая, что скорость и ускорение переносного движения намного меньше их зна-

чений в относительном движении, рассмотрим равенство (27), выражающее принцип

Д’Aламбера для гироскопа. Величина ^M в нем не зависит от наличия переносного дви- жения. Величина ^M _г согласно (24) и с учетом наличия переносного движения может быть представлена в виде

^M _г ^{H (w}

^{u) M} _го

^М _ги ^,

где ^M _го и ^М _ги - гироскопические моменты, обусловленные относительным и перенос- ным движениями соответственно. Наконец, величина ^M _ин , зависящая от скорости и ус- корения абсолютного движения, в силу своей малости и сделанного предположения о со- отношении параметров переносного и относительного движений может быть вычислена с учетом параметров только относительного движения, т.е. ее вид может быть сохранен прежним.

Из изложенного вытекает, что для учета вращения системы координат, относитель- но которой рассматривается движение гироскопа, достаточно, если скорость и ускорение этого вращения малы, к гироскопическому моменту добавить величину

^M _ги ^{Н u}

(30)

гироскопического момента, соответствующего переносному движению системы коорди-

_нат.

Уравнения прецессионного движения в этом случае получаются из векторного урав-

_нения

M M _г

аналогичного уравнению (28).

^M _ги ^0, (31)

В качестве приложения изложенного рассмотрим задачу определения видимого (или кажущегося) ухода гироскопа. Так называется движение оси свободного (см. раздел 1.3) гироскопа, основание которого связано с Землей. Наблюдаемый при этом уход гироскопа обусловлен, очевидно, вращением Земли.

Пусть в начальный момент времени гироскоп в трехстепенном подвесе ориентирован

так, как показано на рис.11: вектор ^H направлен по местной вертикали, ось - по на- правлению на Север. Широту места распо- ложения гироскопа обозначим , угловую скорость Земли - .

Воспользуемся уравнением (31),

ограничиваясь тем самым рамками прецессионной теории (т.е. пренебрегая нутационными колебаниями):

^M _г ^M _ги ^0.

В проекциях на оси резалевой сис-

темы координат это равенство дает два скалярных соотношения

_{где составляющие относительной скорости w равны}

w _x1

w _y1

u_x1 0,

u _y1 0,

^{w x}₁

^{b& ,w} y₁

a^& cos b ,

_{а составляющие переносной скорости}

u_x1

sinj sina,u_y1

(cosj cosb

sinj cosa sin b )

(что вытекает из рис.11). Из полученных соотношений следуют искомые выражения для составляющих видимого ухода

_a^& _(cosj

_{sin j cosatgb ),}

_{a (0) 0,}

_b^& _{sin j sin a ,}

_{b (0) 0.}

_{При иной ориентации гироскопа относительно вертикали и стран света выражения для}

_a^& _и

_b^& _{будут, естественно, иными.}