1.4. Гироскопический момент. Принцип д’Aламбера для гироскопа

Если на гироскоп действует момент, то гироскоп, как было установлено, прецессиру- ет. Вместе с тем, согласно третьему закону Ньютона, гироскоп при прецессии должен соз- давать момент противодействия - момент, который равен по величине и противоположен по направлению внешнему моменту, вынуждающему гироскоп прецессировать.

Рассмотрим подробнее физическую природу упомянутого момента противодействия.

Для упрощения анализа представим себе гироскоп в виде быстро раскручен- ного тонкого обода. Достаточно хоро- шим приближением к этой модели ги- роскопа является велосипедное колесо, которому сообщено вращение вокруг его оси (рис.6).

_{Обозначим} j^&

_{скорость вращения}

колеса, r - радиус колеса, J_z - момент инерции колеса относительно оси z. Допустим теперь, что колесо помимо собственного вращения совершает вра- щение вокруг неподвижной оси x₁, пер- пендикулярной z, со скоростью ^w (чтобы обеспечить это вращение,

необходимо, естественно, приложить усилие к оси колеса). Рассмотрим в этих условиях движение малого элемента колеса массой m, показанного на рис.6. Кроме скорости ^{V rj&} , обусловленной вращением колеса вокруг z, этот элемент вращается вокруг x₁ с

угловой скоростью ^w и потому, как показывается в курсе теоретической механики, он

имеет кориолисово ускорение ^a_k ^2w

_{лельно оси z и равно по величине}

^V . Как нетрудно видеть, это ускорение парал-

^a_k ^{2rwj& sin}

j p / 2 2rwj^& co sj, ₍₂₀₎

где определяет положение рассматриваемого элемента на колесе, а + /2 есть вхо- дящий в векторное произведение угол между векторами ^w и ^v . Но если элемент дви- жется с ускорением, то он действует на обод с силой

f _z a_k m _,

равной по величине и противоположной по направлению той силе, которая, действуя со

стороны колеса, заставляет этот элемент двигаться с ускорением .

_{С учетом (20)}

f_z 2rwj^&

^{m cosj} . (21)

Эта сила имеет наибольшую вели-

чину в точках на оси x₁ и наименьшую

^{- в точках на оси y}₁ ^{(рис.7); при этом на}

правой стороне колеса она направлена

за рисунок, на левой - на нас, вследст- вие чего создается момент вокруг оси y₁. Найдем этот момент. Плечо силы

f_z относительно оси y₁ равно

l r cosj

_{и создаваемый ею момент}

^M _г ^f _z ^{l 2r 2wj&}

m cos² j.

Определяя теперь суммарный момент, что сводится к интегрированию элементарной

_{функции, получим}

_или

M _г 2r²wj^& 2p

_2p

¹_{m cos}² _jdj

0

mr² j^&w

^{M г J} _z^j&w

_{H w} . (22)

Таким образом, получен результат, который на первый взгляд кажется парадоксаль- ным: вращение раскрученного обода вокруг оси x₁ приводит к возникновению момента с его стороны, действующего вокруг оси y₁, перпендикулярной x₁. Однако нетрудно обна- ружить, что этот результат находится в полном соответствии с предыдущими. Действи- тельно, колесо, воздействуя на опору (ось) с моментом М_г, вызывает реакцию в виде мо- мента М'_г, равного по величине М_г и противоположно ему направленного. Именно под действием этого момента в соответствии со вторым свойством гироскоп (колесо) и пре- цессирует вокруг x₁ с угловой скоростью ^w . Из изложенного, в частности, следует, что для того, чтобы раскрученный обод заставить вращаться вокруг оси x₁, необходимо ли- шить его возможности вращаться вокруг оси y₁ (в противном случае колесо просто раз- вернется вокруг этой оси, совместив ось собственного вращения с направлением ^w , т.е. с осью x₁).

Момент М_г, определяемый в рассмотренном частном случае формулой (22), называется гироскопическим моментом. Он, как следует из изложенного, является инерционным моментом, обусловленным кориолисовым ускорением.

Для нахождения гироскопического момента в общем случае поступим следующим об- разом. Пусть ^M - внешний момент, под действием которого гироскоп прецессирует с угловой скоростью ^w .

Из основного равенства (3)

_{G M ,}

с учетом того, что вытекает

^{G Hz o} ,

_{H z&}^o _M

_{. (23)}

_{Но, как известно из курса теоретической механики, производная орта z}^o_{, вращающе-}

_{гося с угловой скоростью w , равна}

_z&^o _w

_z ^o _.

_или

Тогда (23) принимает вид

H w

z ^o M

w H M _.

Наконец, поскольку ^M _г

_{щую формулу}

^M , для гироскопического момента получаем следую-

^M _г ^{H w .}

Эта формула в частном случае, когда ^H перпендикулярен ^w , совпадает с ранее полу-

ченной формулой (22).

Изложенное позволяет сформулировать третье основное свойство гироскопа: при вращении оси гироскопа с угловой скоростью ^w возникает приложенный к опорам ги- роскопа гироскопический момент, равный

^M _г ^H

^w , (24)

где Н - вектор кинетического момента гироскопа.

Как следует из формулы для ^M _г , этот момент стремится совместить по кратчайшему пути вектор кинетического момента гироскопа с направлением скорости вращения оси гироскопа (правило Фуко).

Следует отметить, что величины гироскопических моментов могут быть весьма вели- ки. Это обусловливает необходимость их учета при расчете и подборе опор для быстро вращающихся роторов (двигатели, турбины и т.п.), размещаемых на подвижных объектах. Гироскопические моменты могут создаваться и специально для осуществления управле- ния объектами, о чем будет сказано ниже.

В заключение данного раздела, используя понятие гироскопического момента, рас- смотрим принцип Д’Aламбера применительно к гироскопу. Как известно, принцип Д’Aламбера является эффективным методом решения задач динамики механических сис- тем, давая возможность составлять уравнения движения систем в форме уравнений равно- весия, т.е. используя принципы статики. Достигается это введением фиктивных (т.е. ре-

ально не существующих) сил инерции. Согласно принципу Д’Aламбера сумма всех сил (моментов), приложенных к системе, и сил инерции (инерционных моментов) равна нулю. Так, если тело с массой m движется с ускорением ^a , испытывая действие силы ^F , то уравнение его движения можно записать в виде

^{F F}_и ^0,

^{где F}_и

^ma - сила инерции. Если тело с моментом инерции J относительно оси вра-

щается вокруг нее с ускорением ^e , испытывая действие момента ^M относительно оси, то уравнение его движения можно записать в виде

^{M M} _и ^{0, (25)}

^{где M} _и

^Je - инерционный момент.

Для записи принципа Д’Aламбера применительно к гироскопу используем основное

_{равенство (3)}

_G^& _{M ,}

представив кинетический момент G в виде суммы его основной составляющей

^{H Hz o} и составляющей

_{G G H .}

Из (3) следует

_{M H}^&

_G^& _0.

₍₂₆₎

_{Но, как было показано выше,}

^{H& H z&o M} _г^,

_{поэтому (26) можно представить в виде}

^{M M} _г

^М _ин ^{0 , (27)}

аналогичном (25) и отличающимся от этого равенства лишь тем, что инерционный мо-

мент представлен в виде суммы его преобладающей составляющей, отражающей специ- фику гироскопа - гироскопического момента ^M _г - и "обычной" для вращающегося тела составляющей ^М _ин , обусловленной угловым ускорением, вид которой легко усматрива-

^{ется из уравнений (8) движения гироскопа (первые слагаемые в левых частях уравнений,}

но взятые с противоположным знаком). Если в (27) последней составляющей пренебречь,

то получится уравнение

^{M M} _г ^0, (28) записав которое в проекциях на оси x₁ и y₁ резалевой системы координат, мы получим уже рассматривавшиеся выше укороченные, или прецессионные уравнения движения гироскопа. Уравнение (28), как правило, и используется при выводе уравнений дви- жения гироскопических устройств в инженерной практике.