Методика формирования умения раскладывать многочлен на множители способом группировки

I. Актуализация знаний

Учащимся предлагается задание: Разложите на множители (письменно):

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Выполняя последний пример, учащиеся проговаривают, что слагаемые имеют противоположные множители, значит, один из них надо заменить на противоположный, вынося (—1) за скобки, или меняя знак слагаемого на противоположный, пользуясь равенством: .

Подводя итог выполнения задания, учащиеся называют метод, который они использовали для разложения на множители, и формулируют правило вынесения общего множителя за скобки, пользуясь схемой: □□).

II. Введение схемы разложения многочлена на множители методом группировки

I. Выполняется конкретное задание.

Рассматривая конкретный пример, учитель в процессе беседы с учащимися выделяет этапы его выполнения.

Задание: Разложить на множители многочлен .

• Можно ли данный многочлен разложить на множители методом вынесения за скобки общего множителя? (Нет, так как нельзя каждый член многочлена представить в виде произведения двух множителей, один из которых будет один и тот же.)

• Следовательно, данный многочлен нельзя разложить на множители вынесением общего множителя за скобки. Будем искать другой метод. Выделим члены, к которым можно применить способ разложения на множители путем вынесения общего множителя за скобки:

• Выделенные члены объединим в группы, т. е. заключим их в скобки:

• Вынесем за скобки общий множитель в каждой группе:

= а (х + 2) - 3 (х + 2) = (каждое слагаемое имеет общий множитель, подчеркнем его: а (х + 2) - 3 (х + 2)).

- Вынесем за скобки общий многочлен полученного выражения:

.

Ответ: .

Вид доски: а (х + 2) - 3 (х + 2) Ответ: .

II. Составляется схема разложения на множители методом группировки.

Учитель сообщает, что данный метод разложения многочлена на множители получил название метода группировки, и, возвращаясь к решенному примеру, обсуждает с учащимися, каков был первый шаг, второй и т. д. В результате формулируется правило:

Для того, чтобы разложить многочлен на множители методом группировки надо:

1. Выделить слагаемые для группировки.

2. Выделенные слагаемые заключить в скобки.

3. Вынести за скобки общие множители в каждой группе.

4. В полученном выражении вынести за скобки общий многочлен.

5. Записать ответ.

Данное правило можно записать, пользуясь следующей схемой:

A+B+C+D= + =

= + =

III. Обсуждаются возможные способы разложения на множители методом группировки одного и того же примера.

1. Вернемся к рассмотренному примеру и сгруппируем другие пары слагаемых. (В ходе выполнения задания учащиеся проговаривают каждый шаг его выполнения.)

• Выделяем слагаемые для группировки:

• Выделенные слагаемые заключаем в скобки:

• Выносим за скобки общий множитель в каждой группе:

• В полученном выражении выносим общий многочлен: = (а-3)(х+2).

Вид доски:

= (а-3)(х+2).

Ответ: .

В итоге данный ответ сравнивается с ранее полученным, и делается вывод, что ответы одинаковые по переместительному свойству умножения.

2) Вернемся к первоначальному примеру и посмотрим, можно ли было заключать слагаемые в скобки, перед которыми стоит знак «—».(В ходе выполнения задания учащиеся проговаривают каждый шаг его выполнения.)

— Выделяем слагаемые для группировки:

— Выделенные слагаемые заключаем в скобки (если перед скобками ставится знак «—», то заключаемые в скобки слагаемые записываем с противоположными знаками):

= (ах + 2а) — (3х + 6) =

• Выносим за скобки общий множитель в каждой группе:

• а (х + 2) - 3(х + 2) =

• В полученном выражении выносим общий многочлен: .

• Записываем ответ: ах + 2а — 3х — 6 = (х + 2) (а — 3).

Вид доски: а (х + 2) - 3 (х + 2) Ответ: .

- Сравните данный ответ с ранее полученным. Какой вывод можно сделать?

IV. Выясняются способы контроля.

• Сравните три полученных решения и сформулируйте способы контроля правильности выполненного вами решения. (Можно попробовать группировать слагаемые по-другому, можно заключать слагаемые в скобки, перед которыми стоит знак плюс или минус, ответы должны получиться одинаковыми.)

• Можно ли сделать проверку, используя полученный результат разложения на множители? (Можно раскрыть скобки и полученный многочлен сравнить с исходным.).