Моделирование парикмахерской.

Основные качественные характеристики процесса обслуживания можно, как правило, описать в виде блок-схемы, подобно рис.1, где отражен процесс обслуживания, который можно наблюдать в небольших парикмахерских.

Рис.1. Схема очереди в парикмахерской.

Кружками на этой схеме обозначены возможные решения, принимаемые клиентами. Нужно определить вероятности выбора каждой альтернативы, причем в ряде случаев эти вероятности являются условными. Так, например, решения ожидающего в очереди клиента относительно того, стоит ли ему еще ждать или нет, может зависеть от таких факторов, как:

1 .Время, которое он уже прождал.

2.Число людей, находящихся перед ним в очереди.

Предположим, что в парикмахерской 3 мастера и что средняя продолжительность клиентов, имеющая нормальное распределение со среднеквадратическим отклонением, равным 5 минутам, составляет 20 мин. В течении пикового обеденного периода с 12.00 до 13.45 поток клиентов является пуассоновским со средним, равным 12 человек в час. В парикмахерской имеется 3 кресла для ожидания. Если они заняты, то заглядывающие в нее люди немедленно уходят. Когда все мастера заняты и в очереди ожидают 0,1,2 клиента, вероятности, что вновь прибывший клиент уйдет, не ожидая, равны соответственно 0,1;0,3;0,5. Клиенты, прождавшие уже 15мин, с вероятностью 0,5 уходят, если очевидно, что в ближайший момент мастер не освободится.

С момента открытия парикмахерской (10.00) до полудня и с 13.45 до 17.00 (время закрытия) клиенты прибывают с плотностью 6 человек в час. Один мастер уходит на обед с 11 до 11.30 и после его возращения уходит на обед второй с 11.30 до 12.00. Третий мастер обедает с 14.00 до 14.30. Требуется определить, сколько клиентов уходит из парикмахерской не обслуженными.

Прежде чем идти дальше, мы вспомним моделирование. Первым шагом в решении этой задачи методом моделирования является выбор минимального интервала времени, который будет рассмотрен в дальнейшем. Чтобы не усложнять вычислений, примем этот интервал равным 5 мин. и, предположим, что все события происходят в конце целочисленного периода, состоящего из таких интервалов. Пронумеруем клиентов в порядке их пребывания и определим вначале число клиентов, заходящих в парикмахерскую в течении двух рассматриваемых периодов. В обеденный период плотность прибытия составляет 1 человек в 5 мин. Таким образом, поток в этот период пуассоновский с параметром  равным единице и вероятностями 0,1,2,3,4 прибытия равными соответственно 0,37;0,37;0,19;0,06;0,01. Будем пользоваться двухразрядными случайными числами от 00 до 99. Первые 37 случайных чисел (от 00 до 36) соответствуют отсутствию клиентов, следующие 37 (от37 до 73)- прибытию одного клиента и т.д., как это указано. Для остальной части рабочего дня (при =0,5) мы также получаем диапазоны изменения случайных чисел, соответствующих различным плотностям пребывания клиентов.

Чтобы получить выборку сроков обслуживания, заметим, что среднеквадратическое отклонение равно 5, и будем учитывать любой отрезок времени в пределах плюс - минус половины среднеквадратического отклонения от математического ожидания, считая его равным 20 мин. Вероятность того, что нормально, распределенная случайная величина окажется в этом диапазоне, равна 0,38. В результате получим таблицу №2 (случайное число 00 соответствует интервалу времени, равному 5 мин., числа от 01 до 06 включительно - интервалу в 10 мин., числа от 07 до 30 включительно - интервалу в 15 мин. и т. д.)

Таблица 2. Определение сроков обслуживания.

Принятый срок обслужива­ния, мин.	5	10	15	20	25	30	35
Интервал, мин.	<7,5	(7,5, 12,5)	(12,5 , 17,5)	(17.5 , 22,5)	(22.5 , 27,5)	(27,5 , 32,5)	>32,5
Среднеквадратическое отклонение	<-2,5	(-2.5, -1,5)	(-1,5, -0,5)	(-0,5 , 0,5)	(0,5, 1,5)	(1,5, 2,5)	>2,5
Вероят­ность	0,1	0,6	0,24	0,38	0,24	0,06	0,01
Критическое случайное число	00	06	30	68	92	98	99
ное число

Решение клиента уйти из парикмахерской после того, как он прождал в очереди 15 мин., также определяется выбором случайного числа. Если значение этого числа попадает в интервал от 00 до 49 включительно, клиент уходит. В противном случае он остается, ожидая своей очереди. Решение о том, стоит ли вообще ждать, определяется числом уже ожидающих клиентов. Если все мастера заняты, но никто не ждет в очереди, то соответствующие вероятности равны 0,3 и 0,5, а диапазоны значений случайных чисел простираются от 00 до 29 и от 00 до 49.

Теперь можно подсчитать, сколько клиентов уходит из парикмахерской не обслуженными. В данной реализации это клиенты 12, 13, 16, 17, 22, 32, 34, 35, 38, 41, которые уходят немедленно, и клиенты 14, 15, 40, уходящие после ожидания в течении 15 мин. Таким образом, из общего количества 58 клиентов, зашедших в парикмахерскую, 13 клиентов потеряны.

Целью моделирования такой задачи может быть определение прибыли, которую можно получить, добавив 4-го мастера, однако окончательные выводы на основании модели 1-го дня сделать нельзя. В любом случае полезно сравнивать общее число поступивших требований, оказавшееся равным 58, с ожидаемым, составляющим 6 человек / час с 10.00 до 12.00 и с 13.45 до 17.00, и 12 чел./час с 12.00 до 13.45. Таким образом, число клиентов равно 6(2+3,25)+12*1 3/4=52,25. В ходе моделирования зафиксированы следующие частоты сроков обслуживания:

срок обслуживания частота

5 1

10 4

15 7

20 24

25 7

30 2

35

Всего 45

Средняя продолжительность срока обслуживания, которая должна быть равна20, оказалась на самом деле равной

5*1+10*4+15*7+20*24+25*7+2*30 =19,2

45.

Следовательно, число прибытия клиентов и средняя продолжительность срока обслуживания характеризуется ошибками противоположного смысла, а именно: ошибка в плотности прибытия приводит к увеличению числа клиентов, уходящих из парикмахерской без обслуживания, в то время как ошибка в плотности обслуживания приводит к уменьшению этого показателя. Однако ошибка в плотности прибытия имеет большое значение, и можно догадаться, что потери 12 клиентов является завышенной оценкой истинных ежедневных потерь.

Известно, что важным фактором в решении этой проблемы является отношение

Средняя продолжительность обслуживания______

R= Средний интервал между поступлением требований

Это обстоятельство приводит к выводу, что при моделировании нескольких дней работы парикмахерской следует строить график зависимости числа потерянных клиентов L от величины R. Для первого дня L=13, а средний интервал между прибытием клиентов составляет

7*60 =7,24 мин

58

Средняя продолжительность обслуживания равна 19,2мин. Отсюда:

R= 19,2 =2,65

7,24

При заданных исходных значениях величина R должна быть равна

52,5*20 =2,50

7*60

Из графика зависимости значений L от R., зафиксированных при моделировании, можно найти оценку L, соответствующую значению R=2,50, дисперсия которой, по видимому, меньше дисперсии простого среднего значения L.

Модель теории очередей или модель оптимального обслуживания используется для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. Принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания (больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров, больше клерков, занимающихся предварительной продажей билетов на самолет) и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сделать лишнюю обстановку из-за задержек под загрузкой, потребители уходят в другой банк из-за медленного обслуживания).

Согласно Дональду Р.Плейну и Гери Э.Кохенбергеру: «Основная причина недостатка в каналах обслуживания заключается в краткосрочных изменениях частоты обращения потребителей за обслуживанием, а также времени обслуживания. Это ведет к избыточной пропускной способности в определенные моменты времени и появлению очередей в другие, хотя пропускная способность могла бы быть достаточной, если бы осуществлялся полный контроль за поступлением требований и можно было бы построить соответствующий график.»

Модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, который необходимо иметь, чтобы сбалансировать издержки в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества.