Игры и общественные организации.

Математическая теория стратегических игр сильно выигрывает своей правдоподобности благодаря тому соответствию, которое существует между игровыми понятиями общественных организаций в силу самой природы вещей до сих пор вряд ли могло быть доказано или опровергнуто в рамках социальной теории. Поэтому большой помощью для нас является то, что все наши утверждения могут быть подкреплены конкретными примерами из теории стратегических игр.

В сущности, в этом и заключается один из стандартных приемов при использовании моделей в физических науках.

К настоящему времени по теории игр опубликованы сотни работ, в том числе ряд учебников и учебных пособий, например Оуэн Г. «Теория игр». Следует отметить, что и вопросам практического применения результатов теории игр посвящено значительное число работ. Традиционными стали приложения теории игр для анализа различного рода боевых операций, которые можно рассматривать, как антопогонистические конфликты. Теория равновесия, арбитражные схемы и кооперативные игры используются при построении моделей рынков, процедур голосования, судопроизводства и т.д. В области экологии теория игр также находит применение, однако это относится в основном к биологическому ее разделу, занимающемуся вопросами устойчивости экосистем и сосуществование видов.

5.8. Теория очередей

Рассмотрим некоторую систему, выполняющую определенную работу или предоставляющую услуги. Эта система, в которую поступают объекты, нуждающиеся в услугах или производстве работ, называется «обслуживающей системой», а сами объекты носят название «требований» или «заявок». Они могут представлять собой письма, нуждающиеся в подписи, автомашины, которым нужна стоянка, суда, подлежащие сборки, людей, ожидающих обслуживания, короче говоря, любой материальный объект, над которым или для которого нужно выполнить некоторую работу. Если требования поступают в систему «слишком часто», то им приходится ожидать обслуживания или обходится без него. Если же, напротив, требования поступают слишком редко, то ожидать приходится средствам или каналам обслуживания. Ожидающие обслуживания требования или простаивающие каналы образуют очередь.

Совокупность правил, пользуясь которыми из очереди выбирают требования для обслуживания, называется дисциплиной обслуживания. Эти правила могут быть самыми различными: например, живая очередь, обслуживание в порядке возраста, по степени срочности, по какой-либо шкале приоритетов. Требования могут выбираться даже случайным образом, как, скажем, действуют продавцы у забитых толпой прилавках.

Устройство или средство, способное в любой момент времени обслуживать лишь одно требование, называется каналом или пунктом обслуживания. Если обслуживание производится поэтапно некоторой последовательностью каналов, то такую систему массового обслуживания называют многофазной. При наличии нескольких каналов, способных одновременно обслуживать ряд требований, говорят о многоканальной системе. Все каналы или часть их могут выполнять один и тот же вид обслуживания либо различные виды обслуживания. Так, например, на платных автострадах обычно устанавливаются ряд пунктов сбора платы за проезд только для легковых автомобилей и один или несколько пунктов для грузовых в столовых и кафе часто имеется более одного канала, причем в одних случаях идентичных, а в других различных, каждый из который состоит из нескольких станций обслуживания. Несколько станций могут быть источником требований для одной последующей. Так, владельцы театральных билетов, закупаемых в ряде касс, могут направляться к одному билетеру у входа в театр. С другой стороны, одна станция может служить источником требований, направляемых в несколько последующих каналов. В качестве примера можно привести справочное бюро универмага.

При наличии требований, поступающих на станцию обслуживания таким образом, что либо сами требования, либо средства обслуживания вынуждены ожидать, возникает процесс массового обслуживания. В условиях протекания такого процесса задача обслуживания возникает при следующих условиях:

а) имеется возможность регулирования плотности потока требований или параметра потока, или количества средств обслуживания;

б) существуют затраты, обусловленные ожиданием удовлетворения требований или простоем средств обслуживания.

Задача массового обслуживания заключается либо в формировании потока требований в систему, либо в обеспечении средствами обслуживания, либо в одновременном решении этих вопросов. Целью решения этой общей задачи является минимизация суммарных затрат, связанных с ожиданием обслуживания требований и потерями от простоя средств обслуживания.

Поскольку большинство людей проводит много времени в очередях, ожидая обслуживания или, напротив, ожидая, когда им представится возможность предоставить свои услуги, процессы и задачи массового обслуживания возникают повсюду. Приведем несколько примеров содержательной постановки задач этого класса.

• Сколько требуется контрольных касс в крупном магазине

самообслуживания?

• Сколько взлетно-посадочных полос нужно иметь на аэродроме?

• Сколько причалов для судов рационально предусмотреть в порту?

• Сколько мест для машин оборудовать в гараже?

• Сколько продавщиц нужно иметь в универмаге?

•Сколько ремонтных бригад содержать на промышленном

предприятии?

• Сколько врачей предусмотреть в штате поликлиники?

• Сколько коек требуется для больницы?

Большую группу задач ремонта и профилактического обслуживания можно рассматривать как задачи массового обслуживания. Оборудования или изделия, нуждающиеся в ремонте и обслуживании, представляют собой требования. Средства ремонта можно доставлять к месту обслуживания требований, как это, например, происходит, когда вызывают на дом мастеров для ремонта бытовых приборов, отопления и сантехники. Затраты на ожидание удовлетворения требований могут включать потери, обусловленные невозможностью использовать неисправное оборудование.

Некоторые задачи управления запасами можно также поставить как задачи массового обслуживания. Поступивший запас, который выполняется путем поставки продукции из запаса, рассматривается как требование. Складское хозяйство можно считать средством обслуживания, обеспечивающим выдачу продукции клиентам. Операция обслуживания есть процесс заполнения освободившихся складских помещений с помощью заказов на пополнение запаса. Очередь- это число еще не выполненных заказов. Если спрос носит дискретный характер и в каждой партии поступает небольшое число изделий, то такой процесс пополнения запаса можно эффективно исследовать с помощью аппарата теории массового обслуживания. Для решения задачи управления запасами этого вида используют модель запасов. Этот подход к решению задач управления запасами развит Морзом и Прабху.

Некоторые очереди считаются замкнутыми, так как обслуженные требования могут возвращаться в нее, образуя набор потенциальных требований, впоследствии вновь поступающих на обслуживание. Так, например, автомашины, приписанные к определенному парку, могут образовывать замкнутую очередь по отношению к ремонтным мастерским фирмы. Если число потенциальных требований очень велико, то поведение замкнутой очереди практически не отличается от поведения разомкнутой или линейной очереди, в которой обслуженные требования уже не возвращаются в систему. Количество накапливающихся требований может быть конечным или практически бесконечным. Очень большие наборы требований обычно рассматриваются, как бесконечные, что позволяет существенно упростить математический аппарат, применяемый для решения задач.

Затраты, связанные с ожиданием удовлетворения требований, как правило, включают косвенные расходы, обусловленные потерей клиентов, или прямые издержки простоя средств обслуживания и людей. Примером прямых затрат может служить оплата водителей грузовых автомашин, ожидающих разгрузки, или стоимость эксплуатации самолета или судна, ожидающего посадки на аэродром или швартовки у причала. Определить косвенные расходы гораздо сложнее. Например, водители автомашин, нуждающиеся в бензине, стараются не заправляться на станциях, где у бензоколонок скапливается большая очередь. Чтобы определить, сколько клиентов теряется в подобных ситуациях, и выразить эти потери в денежной форме, потребуется проведение экспериментов или тщательный анализ изменения спроса при различных уровнях обслуживания с использованием статистических данных.

В некоторых случаях потери от ожидания можно определить, проанализировав надлежащим образом «имеющиеся в наличии» наблюдения. В ресторанах иногда можно наблюдать, как меняется число заходящих в единицу времени посетители в зависимости от длины очереди. Можно даже установить зависимость числа уходящих потенциальных посетителей от длины этой очереди. Однако гораздо труднее выяснить, как она влияет на их возращение в ресторан, если рассматривать достаточно большой интервал времени. В замкнутых очередях, например в системах ремонта, обслуживающих парк автомашин, потери от ожидания клиентов обычно выражаются стоимостью дополнительных машин, необходимых для «покрытия» недостатка, образовавшегося из-за вышедших из строя машин, то есть определяется стоимостью «резерва».

Потери от простоя средств обслуживания могут оказывать влияние и на другие виды расходов. Так, например, если авиалинию обслуживает всего один ремонтный завод, то требуется гораздо больше времени на транспортировку самолетов в пункт, где он расположен, чем в случае, когда имеется несколько ремонтных предприятий, размещенных в различных пунктах по линии.

Модель задачи массового обслуживания в общем виде выражает полные затраты как сумму двух видов потерь: от ожидания удовлетворения требований и от простоя средств обслуживания. Эти потери являются в свою очередь функциями двух различных видов времени ожидания, которое, в конечном счете, зависит от таких от таких управляемых переменных, как число обслуживающих каналов или параметров входящего потока времени, а также параметров процесса обслуживания. Трудности исследования большинства задач массового обслуживания заключаются в определении законов распределения времени ожидания, а не в решении «стоимости» модели при условии, когда важнейшие характеристики очередей уже известны. В связи с этим в теории массового обслуживания исследуются главным образом свойства очередей, а не стоимостные модели процессов обслуживания.

Любую систему массового обслуживания можно смоделировать, если удается описать ее и получить числовые данные о времени обслуживания и интенсивности поступления требований. Поскольку в большинстве задач обслуживания требуется определить число необходимых средств обслуживания и, как правило, можно достаточно точно оценить оптимальное значение этого параметра, для отыскания оптимума обычно не требуется моделировать очень большое число вариантов.

С появлением ЭВМ время, необходимое для решения больших задач массового обслуживания методом моделирования, значительно сократилось. Часто затраты машинного времени вообще бывают очень малы. Затраты времени на программирование, которые прежде были весьма значительными, теперь можно резко снизить за счет использования специальных моделирующих языков типа SIMSCRIPT. Довольно много небольших задач обслуживания удается моделировать вручную. Пример такой задачи рассматривается ниже.

Использование метода моделирования для решения задач массового обслуживания особенно эффективно в трех случаях, когда изучается нестационарный процесс или когда необходимо исследовать переходные режимы. Исследовать переходные режимы с помощью аналитических методов обычно бывает очень сложно, и использование метода моделирования позволяет существенно упростить эту задачу.