3.3. Синтез модального регулятора с астатическим наблюдателем для объектоввторого порядка с запаздыванием.

3.3.1 Синтез астатического наблюдателя для объектов 2-ого порядка с запаздыванием в случае кратного отношения запаздывания и период квантования

Как и ранее, введем в структуру наблюдателя модель цифрового интегратора (рис. 3.12).

Рис.3.12.Структурная схемасистемыуправления объектом 2-ого порядка с запаздыванием с модальным регулятором и астатическим наблюдателем в случае кратного отношения запаздывания к периоду квантования (М=1)

Для расчета коэффициентов наблюдателя в соответствии со структурной схемой Рис. 3.12 запишем систему разностных уравнений, описывающих динамику только контура наблюдения:

(3.34)

Характеристическое уравнение этой системы получим на основе определителя:

=0. (3.35)

Раскрывая и приравнивая коэффициенты этих уравнений при одинаковых степенях , и решая систему уравнений, получаем:

(3.36)

Аналогично выведем формулы вычисления коэффициентов наблюдателя для величины запаздывания М=2. В соответствии со структурной схемой (рис. 3.8.) запишем систему разностных уравнений, описывающих динамику только контура наблюдения:

(3.37)

Рис.3.13.Структурная схемасистемыуправления (для М=2) по аналогии методике, получаем коэффициенты наблюдателя:

(3.38)

Рис.3.14.Структурная схемасистемыуправления (для произвольного запаздывания М).

Для произвольного запаздывания М (Рис.3.14). Подобным способом можем получить формулы расчета для коэффициентов наблюдателя для разных значений М:

М=3:

(3.39)

М=4:

(3.40)

Таким образом, обобщая эти формулы, получаем рекуррентные формулы вычисления коэффициентов наблюдателя для произвольного значения М:

(3.40)

Где

- число сочетаний из М+3 по j.

3.3.2 Синтез астатического наблюдателя для объектов 2-ого порядка с запаздыванием в случае некратного отношения запаздывания и период квантования

В этом случае в структурную схему системы (Рис. 3.10) добавляется коэффициент b₃ и блок задержки 1/z.

Рис.3.15.Структурная схема системы управления объектом 2-ого порядка с запаздыванием с модальным регулятором и астатическим наблюдателем в случае некратного отношения запаздывания к периоду квантования (М=1).

Рассмотрим только контур «статический наблюдатель – модель объекта». Запишем для него систему уравнений, описывающих динамику этого контура используя дискретную теорию пространства состояний. Пусть вначале задержка М=1(Рис.3.10.)

Тогда имеем:

(3.41)

Как и ранее, коэффициенты наблюдателя вычислим из равенства характеристического уравнения замкнутой системы и выбранного типа полинома для случая кратных корней

=0, (3.42)

где b_n - корень наблюдателя, кратности 5 (b_n = 0÷1).

Или в раскрытом виде

(3.43)

Раскрывая определитель и полином, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим систему линейных алгебраических уравнений, из которых вытекают рекуррентные формулы для коэффициентов наблюдателя:

(3.44)

Рис.3.16 Структурная схема системы управления (для М=2).

Для М=2 (рис.3.16) имеем систему уравнений:

(3.45)

Которая соответствует характеристическому уравнению:

(3.46)

Решить это уравнение, получаем:

(3.47)

Для схемы, показанной на Рис.3.17. выполним подобные процедуры шаг за шагом, получаем формулы для коэффициентов наблюдателя. Для обобщения выводим эти формулы для разных значений М:

М=3:

(3.47)

Рис.3.17 Структурная схема системыуправления (для произвольного запаздывания М).

М=5:

(3.48)

Таким образом, обобщая эти формулы для произвольного М получим следующие рекуррентные формулы для вычислений коэффициентов наблюдателя:

Для М=1:

(3.49)

Для М > 1:

(3.50)

где ,а - число сочетаний из М+4 по j, j=1,2…M+2.

Можно показать, что с увеличением М (запаздывание в объекте) увеличивается число , причем формулы носят рекуррентный характер

Если положить , то в таком наблюдателе процессы будут заканчиваться затактов (- порядок системы). Это апериодический наблюдатель.

На практике , особенно при наличии значительного уровня шума. В этом случае наряду с выполнением функции упредителя наблюдатель будет осуществлять и фильтрацию выходного сигнала.

Таким образом, только использование описания динамики объекта с запаздыванием в канонической форме наблюдаемости позволило получить рекуррентные расчетные формулы для коэффициентов астатического наблюдателя полного порядка. Эти формулы могут применяться для автоматического перерасчета коэффициентов адаптивных регуляторов состояния с наблюдателями при изменении параметров объекта управления, которое, в свою очередь, может оцениваться с помощью одного из методов идентификации.