3.2. Синтез модального регулятора со статическим наблюдателем для объектов второго порядка с запаздыванием

3.2.1. Синтез статического наблюдателя для объектов 2-ого порядка с запаздыванием в случае кратного отношения запаздывания и период квантования

В свободно программируемых контроллерах имеется возможность установить такую величину периода квантования, чтобы в отношение величинас=0. В этом случае, согласно формулам (3.3) величина коэффициента b3=0, что упрощает модель объекта и формулы для расчета наблюдателя.

Рис. 3.1.Структурная схемасистемыуправления объектом 2-ого порядка с запаздыванием модальным регулятором и статической наблюдателем (М=1)

В соответствии с работой [17] методика расчета основана на использовании принципа разделения и теории модального цифрового управления. Согласно принципу разделения можно отдельно рассчитать параметры контура «наблюдатель – модель ОУ» и параметры контура «регулятор – модель ОУ». Такой подход облегчает процедуру расчета и позволяет получить простые расчетные формулы, удобные для применения их в свободно программируемых контроллерах.

Для расчета коэффициентов наблюдателя в соответствии со структурной схемой Рис. 3.1. запишем систему разностных уравнений, описывающих динамику только контура наблюдения:

(3.5)

Характеристическое уравнение этой системы получим на основе определителя:

=0. (3.6)

Приравнивая коэффициенты этих уравнений при одинаковых степенях , и решая систему уравнений, получаем:

(3.7)

Аналогично выведем формулы вычисления коэффициентов наблюдателя для величины запаздывания М=2. В соответствии со структурной схемой (рис. 3.2.) запишем систему разностных уравнений, описывающих динамику только контура наблюдения:

(3.8)

Рис. 3.2.Структурная схемасистемыуправления объектом 2-ого порядка с запаздыванием (для М=2)

Запишем характеристическое уравнение, приравнивая коэффициенты этих уравнений при одинаковых степенях , получим систему уравнений, решение которой получаем коэффициенты наблюдателя:

(3.9)

Для произвольного значения запаздывания М (рис.3.3), разностные уравнения будут иметь вид

(3.10)

Рис. 3.3. Структурная схема системы управления объектом 2-ого порядка с запаздыванием (для произвольного запаздывания М)

и характеристическое уравнение этой системы, решение которого даёт коэффициенты наблюдателя

(3.11)

Таким образом, для произвольного запаздывания M получим следующие рекуррентные формулы для вычислений коэффициентов статического наблюдателя:

(3.12)

где , - число сочетаний из М+2 по j.

3.2.2. Синтез астатического регулятора состояния для объектов 2-ого порядка с запаздыванием в случае кратного отношения запаздывания к периоду квантования

Для расчета параметра регулятора запишем систему разностных уравнений, определяющих динамику только контура регулирования:

(3.13)

Перепишем (3.13) в виде:

(3.14)

Характерной особенностью контура регулирования является то, что регулятор замкнут на цифровую модель объекта без запаздывания, что упрощает расчетные формулы.

Для упрощения настройки системы поместим все корни характеристического уравнения в одну точку

Коэффициенты регулятора вычислим из равенства характеристического уравнения замкнутой системы и выбранного типа полинома для случая кратных корней:

(3.15)

или :

(3.16)

Раскрываем (3.16) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим систему линейных алгебраических уравнений:

(1*)

(2*)

(3*)

Решим систему (1*), (2*), (3*) следующим образом:

Суммируем 3 уравнений, получаем уравнение, из которого имеем:

(3.17)

теперь умножим (1*) на b₂ (2*) на b₁ и суммируем их получаем уравнение, из которого имеем

(3.18)

из (1*) найдем

(3.19)

В данном случае удалось получить выражения для коэффициентов регулятора в явном виде. Исследование показали, что с помощью изменения величины в диапазоне от 0 до 1 при фиксированном(например, при=0,1) подбирается требуемая динамика замкнутой системы управления, т. е. имеет место один варьируемый параметр на всю систему управления.