§14. Теорема Паппа

Рассмотрим одну из замечательных конфигураций действительной проективной геометрии. (Автором первой фундаментальной теоремы проективной геометрии является Папп Александрийский. Теорема Паппа содержится в «Математическом собрании», начало 1V века нашей эры)

Теорема. Пусть даны три точки A, B, C, лежащие на одной прямой d и три точки A, B, C, лежащие на прямой d, причем dd. Тогда три точки A=(BC) (BC), B=(AC) (CA), C=(AB) (AB) принадлежат одной прямой d.

Д оказательство. Рассмотрим отображение f пучка прямых с центром в точке A на пучок прямых с центром в точке C, при котором прямые (AC), (AA), (AB) переходят, соответственно, в прямые (CA), (CA), (CB). Поскольку прямая, соединяющая центры пучков, переходит в себя, то f – перспективное отображение. Оно индуцирует перспективное отображение :(BA)(BC) с центром B, при этом (С)=A. Значит, точка B принадлежит прямой (AC).

Задача 37. Посадить 9 деревьев так, чтобы получилось 10 рядов по три дерева в каждом.

Задача 38. Сформулируйте предложение, двойственное теореме Паппа. Сделать чертеж.

§15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.

В геометрии принято определение, согласно которому термин «преобразование» обозначает «биекция» или «взаимно однозначное отображение» некоторого множества на себя.

Определение. Преобразование проективной прямой называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех точек.

Теорема. Проективное преобразование прямой d переводит проективный репер  на d в проективный репер , и выполняется правило равенства координат, т.е. точка M d имеет в репере  те же самые координаты, что и ее образ М в репере : M(x¹, x²) в  и M (x¹, x²) в репере .

Замечание. Координаты точки в проективном пространстве задаются с точностью до ненулевого множителя.

Доказательство. Пусть на прямой d заданы проективное преобразование f: dd и произвольный репер =(A, B, E).

Пусть A= f(А), В= f(B), Е = f(Е)). Поскольку f – биекция, то никакие две из трех точек A, В, Е не совпадают, точки А, В, Е занимают общее положение и образуют репер =(A, B, E). Для произвольной точки М на d, М≠А определяются координаты (x¹, x²) в репере , причем можно вычислить сложное отношение (А В, Е М) = . Пусть М = f(М), тогда (АВ, ЕМ) = (АВ, ЕМ) по определению проективного преобразования, и (АВ, ЕМ) = (АВ, ЕМ) = , и точка М имеет в репере  координаты (x¹, x²).

Следствие 1. Если  и  - произвольные реперы на проективной прямой d, то существует единственное проективное преобразование на d, которое репер  переводит в репер .

Следствие 2. Если проективное преобразование прямой имеет три попарно различные неподвижные (инвариантные) точки, то оно является тождественным преобразованием.

Задача 39. При проективном преобразовании f расширенной прямой заданный репер  = (A, B, E) переходит в заданный репер  = (A, B, E). Построить образ произвольной точки М прямой .

Задача 40. Доказать, что если в проективном преобразовании f расширенной прямой несобственная точка X_∞ инвариантна, то сужение отображения f на аффинную прямую d = \{X_∞}. f_1d есть аффинное преобразование

Определение. Нетождественное проективное преобразование прямой называется инволюцией, если оно совпадает со своим обратным преобразованием.

Теорема. Если в данном проективном преобразовании f прямой какая-то точка А переходит в точку В, отличную от точки А, а точка В переходит в точку А, то f – инволюция.

Доказательство. Пусть М – произвольная точка прямой, М = f(М). Требуется доказать, что М = f(М). Обозначаем М = f(М). При проективном преобразовании сохраняется сложное отношение четырех точек, следовательно, (АВ, М M) = (ВА, МM). Таким образом, по свойствам сложного отношения четырех точек прямой М = M.

Задача 41. Доказать, что инволюция прямой либо не имеет ни одной инвариантной точки, либо имеет две инвариантные точки.