4. Линии 1 порядка на проективной плоскости
Уравнения прямой на проективной плоскости. Проективные координаты прямой. Обоснование принципа двойственности на проективной плоскости.
Двойное (сложное отношение) четырех точек, лежащих на одной прямой. Двойное (сложное отношение) четырех прямых, принадлежащих одному пучку.
Гармонические четверки точек и прямых.
Полный четырехвершинник и полный четырехсторонник.
Теоремы Дезарга и Паппа.
5. Линии 2 порядка на проективной плоскости
Приведение уравнения линии 2 порядка к каноническому виду. Квадрики.
Некоторые свойства линий 2 порядка на проективной плоскости в модели пополненной плоскости.
Теоремы Паскаля и Брианшона.
6. Проективные преобразования проективных пространств
Перспективные соответствия проективных прямых, проективных плоскостей. Некоторые инварианты при перспективных соответствиях.
Проективные преобразования и отображения проективных пространств: различные определения и их эквивалентность. Проективные преобразования в координатах.
Группа проективных преобразований и ее подгруппы. Проективно-аффинные преобразования.
Проективная классификация линий 2 порядка относительно группы проективных преобразований. Связь с аффинной классификацией.
7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
Схема решения задач элементарной геометрии методами проективной геометрии.
Примеры задач, решаемых методами проективной геометрии.
Практические задания с решениями
Решаемые задачи иллюстрируют лекционный курс, а также создают мотивацию к последующему изучению теоретического материала. Четкая запись условий задач, подробная, структурированная запись решения геометрических задач является основным требованием к работе как преподавателя, так и студентов, что необходимо для качественного объяснения и усвоения геометрического материала. Недопустимы «приблизительные» решения, а также их отсутствие (только чертеж), что создает иллюзию понимания.
Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
Список необходимых сведений: определения аффинных преобразований и движений аффинного и евклидова пространства. Их свойства.
Практические задания
-
На плоскости относительно прямоугольной системы координат дано каноническое уравнение эллипса с параметрами a , b. Перевести аффинным преобразованием данный эллипс в единичную окружность с центром в начале координат.
Решение.
Каноническое
уравнение эллипса
.
Перепишем
его в виде
.
Рассмотрим
аффинное преобразование
.
Оно
переводит эллипс в единичную окружность
с уравнением
.
Штрихи над координатами x и y показывают, что единичная окружность является образом. После того как уравнение образа получено, то штрихи можно не писать.
-
На плоскости относительно прямоугольной системы координат даны две единичные окружности: с центром в начале координат и с центром в точке
.
Перевести
одну окружность в другую аффинным
преобразованием.
Решение.
Рассмотрим две единичные окружности
и
.
Рассмотрим
движение
. Оно является параллельным переносом
на вектор с координатами
и переводит первую окружность во вторую.
-
Можно ли перевести любой эллипс в любой эллипс движением плоскости и почему?
Решение.
Из задач 1, 2 вытекает, что аффинным преобразованием можно перевести любой эллипс в любой эллипс. Для этого надо перевести оба эллипса в единичные окружности с теми же центрами, а затем перевести окружности друг в друга. Однако в случае произвольных канонических параметров эллипсов этого нельзя добиться движением, так как параметры отвечают за размеры эллипсов.
-
Можно ли перевести эллипс в гиперболу (или любую другую кривую 2 порядка) аффинным преобразованием и почему?
Решение.
Невозможно перевести аффинным преобразованием эллипс в гиперболу, так как эти фигуры имеют различные инвариантные свойства. В частности, эллипс является ограниченной фигурой, а гипербола – неограниченной. Эллипс не имеет асимптот, а гипербола имеет.
Аналогичные задачи надо уметь решать для всех кривых 2 порядка на плоскости.
Сделать следующие выводы.
Любой эллипс можно перевести в любой эллипс аффинным преобразованием.
Два эллипса можно перевести друг в друга движением плоскости только если они имеют одинаковые канонические параметры.
Сделать аналогичные выводы для других кривых 2 порядка на плоскости.
Составить список инвариантных (относительно аффинных преобразований) свойств и показать, что кривые из разных канонических классов имеют разные инвариантные свойства. Следовательно, не могут быть переведены друг в друга аффинным преобразованием.