§18. Проективная классификация линий второго порядка.

Допустим, что линия второго порядка на проективной плоскости в некотором репере имеет общее уравнение

a_ij xⁱ x^j = 0 (1)

В трехмерном векторном пространстве V³ рассмотрим квадратичную форму q, т.е. для x(x¹ x² x³) V³

q() = a_ij xⁱ x^j (2)

Из курса линейной алгебры известно, что в трехмерном векторном пространстве V³ найдется базис, в котором квадратичная форма q имеет нормальный вид. Поскольку, согласно определению Г. Вейля, V³ порождает проективную плоскость P², то в P² найдется репер, в котором уравнение линии второго порядка имеет вид

ε₁(x¹)'(x¹)' + ε₂(x²)'(x²)' + ε₃(x³)'(x³)' = 0 , (3)

где коэффициенты ε₁, ε₂, ε₃ равны -1, 1 или 0, но одновременно все три коэффициента не обращаются в нуль.

Таким образом, мы приходим к каноническому уравнению линии второго порядка.

Перебирая все возможные варианты для коэффициентов ε₁, ε₂, ε₃, убеждаемся, что на проективной плоскости существует пять типов линий второго порядка. Все они представлены в следующей таблице.

№ п.п.	Название линии	Каноническое уравнение	Ранг линии
1	Овальная линия	(x1)2+(x2)2-(x3)2=0	3
2	Нулевая линия	(x1)2+(x2)2+(x3)2=0	3
3	Пара прямых	(x1)2-(x2)2=0	2
4	Пара мнимых прямых	(x1)2+(x2)2=0	2
5	Пара совпадающих прямых	(x1)2=0	1

Указанные типы линий проективно различны, то есть не существует проективного преобразования, которое линию одного типа переводит в линию другого типа.

Однако, любые две линии одного и того же типа проективно эквивалентны.

Основное внимание в дальнейшем изложении мы будем уделять овальной линии.

Задача 43. Определить тип линии второго порядка

(x¹)² + 2x¹x² + 2(x²)² - (x³)² = 0.

§19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.

Допустим, что задана невыраженная (т.е. максимального ранга) линия второго порядка, имеющая в некотором репере уравнение

a_ij xⁱ x^j = 0 (1)

Кроме того, прямая d, проходящая через точки P (p¹, p², p³) и Q (q¹, q², q³), имеет в этом же репере параметрические уравнения

x¹= λ p¹ + μ q¹; x²= λ p² + μ q²; x³= λ p³ + μ q³ (2)

Поставим задачу нахождения точек пересечения линии второго порядка с прямой d. Для решения этой задачи подставим x¹, x² и x³ из параметрических уравнений прямой d в общее уравнение линии второго порядка. Ясно, что мы получим однородное уравнение второй степени относительно λ и μ:

A₁₁ λ² + 2A₁₂λμ + A₂₂μ = 0 (3)

Можно посчитать коэффициенты A₁₁ A₁₂ A₂₂, из которых хотя бы один отличен от нуля:

A₁₁ = a_ij pⁱp^j ; A₁₂ = a_ij pⁱq^j ; A₂₂ = a_ij qⁱq^j ; (4)

Каждой ненулевой паре (λ, μ) действительных решений этого уравнения соответствует общая точка прямой и линии второго порядка. Однородное уравнение всегда имеет тривиальное решение, однако оно нам не подходит, так как, если λ = μ = 0, то x¹ = x² = x³ = 0, но на проективной плоскости нет точки, все координаты которой равны нулю. Допустим, что μ ≠ 0, тогда легко получить квадратное уравнение:

A₁₁+ 2A₁₂ + A₂₂ = 0 (5)

Исследуем дискриминант этого уравнения

= (A₁₂)² – A₁₁ A₂₂ (6)

Если D > 0, то уравнение (5) и, соответственно, (3) имеет (с точностью до числового множителя) два непропорциональных вещественных решения относительно λ и μ. В этом случае прямая d пересекается с линией второго порядка в двух точках.

Если D < 0, то уравнение (3) не имеет вещественных решений, и линия второго порядка и d не имеют вещественных общих точек.

Если D = 0, то линия второго порядка и d имеют одну общую точку (две совпадающих точки). В этом случае прямая d называется касательной к линии второго порядка. Из соотношения (6) имеем условия касания:

(A₁₂)² - A₁₁ A₂₂ = 0 (7)

В каждой точке невыраженной линии второго порядка существует единственная касательная.

Если точка P (p¹, p², p³) принадлежит линии второго порядка, то A₁₁ = a_ij pⁱp^j = 0, и условие касания (7) принимает простой вид:

A₁₂ = 0 (8)

Расписывая соотношение (8), заменяя точку Q на текущую точку X(x¹,x²,x³), приходим к уравнению касательной:

(a₁₁p¹+ a₂₁ p²+ a₃₁ p³) x¹ + (a₁₂p¹+ a₂₂ p²+ a₃₂ p³) x² + (9) (a₁₃p¹+ a₂₃ p²+ a₃₃ p³) x³ = 0

Напомним, что мы полагаем a_ij = a_ji для любых индексов i, j от 1 до 3.

Задача 44. Овальная линия в каноническом репере задана уравнением

(x¹)² + (x²)² - (x³)² = 0

Написать уравнение касательной прямой, проходящей через точку P(1,1,).