- •Глава 1. Первоначальные понятия, определения, факты. §1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование
- •§2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства
- •§3. Модели проективного пространства
- •§4. Понятие проективных координат
- •§5. Проективные координаты на плоскости
- •§6. Уравнение прямой на проективной плоскости
- •§7. Преобразование проективных координат
- •§8. Принцип двойственности
- •Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга
- •§10. Сложное отношение четырех точек прямой
- •§11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости
- •§12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости
- •§13. Проективные отображения прямых и пучков
- •§14. Теорема Паппа
- •§15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
- •§16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.
- •Глава 3. Линии второго порядка на проективной плоскости §17. Понятие проективной линии второго порядка
- •§18. Проективная классификация линий второго порядка.
- •§19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
- •§20. Полюс, поляра, поляритет.
- •§21. Теорема Штейнера.
- •§22. Теоремы Паскаля и Брианшона .
- •§23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона
- •Связь между проективными и аффинными координатами. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
- •Приложение 1 Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.
- •Задачи с решениями по всему курсу.
- •М етодические указания
- •Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия
- •1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
- •2. Построение проективного пространства
- •3. Проективные координаты точек, проективные системы координат
- •4. Линии 1 порядка на проективной плоскости
- •5. Линии 2 порядка на проективной плоскости
- •6. Проективные преобразования проективных пространств
- •7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- •Практические задания с решениями
- •Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
- •Тема 2. Построение проективного пространства
- •Построить образы отрезка, луча, прямой, угла, треугольника, окружности при параллельном и центральном проектировании. Рассмотреть различное расположение центра проекций и плоскости проекций.
- •Построить следующие сечения конуса плоскостями: эллипсы, параболы, гиперболы.
- •Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Первое занятие.
- •На проективной прямой в модели пучка прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b).
- •На проективной плоскости в модели связки прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b:c).
- •Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
- •Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
- •Найти однородные координаты точки пересечения прямых
- •Найти аффинные координаты точки пересечения прямых
- •Найти однородные координаты точки пересечения прямой
- •Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.
- •На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями
- •Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.
- •Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.
- •Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
- •Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
- •Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
- •Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
- •Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
- •Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
- •Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
- •Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
- •Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- •Список рекомендуемой литературы Основной
М етодические указания
Сравнительное изучение теории инвариантов для аффинных, проективных и метрических пространств всегда составляло основу классического математического образования студентов педагогических вузов. Методы проективной геометрии являются эффективным инструментом для решения задач элементарной геометрии. Поэтому освещение различных вопросов элементарной геометрии с проективной точки зрения имеет прямое отношение к будущей работе учителей математики.
Курс проективной геометрии изучается после курса аналитической геометрии. Студенты уже знакомы с аффинными преобразованиями и движениями плоскости и трехмерного пространства и их инвариантами. Курс начинается строгим аксиоматическим изложением аффинной и евклидовой геометрии (по Вейлю). Затем при изучении центрального проектирования обосновывается необходимость конструирования проективного пространства и изучения инвариантов проективных преобразований.
В итоге студенты получают представление об инвариантах различных групп геометрических преобразований.
В настоящем пособии помещены задачи с подробными указаниями к их решению, что очень важно при самостоятельной работе над курсом, а также контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Ценность пособия возрастает при значительном сокращении часов, отводимых для изучения геометрии.
Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия
1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
геометрий
Общее определение аффинного и аффинного евклидова пространства (в аксиоматике Вейля). Общее определение скалярного произведения векторов. Понятие системы координат в аффинном пространстве и прямоугольной системы координат в аффинном евклидовом пространстве. Координаты точек и формулы преобразования координат точек, геометрический смысл матрицы перехода. Длина отрезка в координатах в произвольной и прямоугольной системе координат.
Аффинные преобразования аффинного пространства. Движения евклидова пространства. Инварианты аффинных преобразований. Инварианты движений.
Алгебраические кривые 1 и 2 порядка в аффинных пространствах. Классификация кривых 2 порядка относительно группы аффинных преобразований и относительно группы движений.
Эрлангенская программа Клейна.
2. Построение проективного пространства
Центральное проектирование в аффинном пространстве. Введение несобственных элементов и построение проективного пространства. Общее определение проективного пространства.
Модели проективной прямой, проективной плоскости и трехмерного проективного пространства.
Некоторые свойства точек и прямых и их проверка в различных моделях проективной плоскости.
Принцип двойственности на проективной плоскости и в трехмерном проективном пространстве.
3. Проективные координаты точек, проективные системы координат
Введение проективных координат точек и проективных систем координат в различных моделях проективной прямой, проективной плоскости. Общее определение проективной системы координат в проективном пространстве.
Однородные координаты как частный случай проективных координат на проективной прямой и проективной плоскости в моделях пополненной прямой и пополненной плоскости соответственно. Связь между аффинными и однородными координатами для собственных точек пополненной прямой и пополненной плоскости.
Формулы преобразования проективных координат точек.