§7. Преобразование проективных координат

Пусть в n-мерном проективном пространстве Pⁿ задано два проективных репера  = (A₁, A_2, …, A_n+1, E) и  = (A₁, A_2, …, A_n+1, E). Пусть некоторая точка М имеет координаты (x¹, x², …, xⁿ⁺¹) в репере  и (y¹, y², …, yⁿ⁺¹) в репере .

Поставим задачу: найти формулы, выражающие координаты {x_i} через {y_i}.

Рассмотрим координаты точек репера  в репере :

Представляя координаты точек в виде столбцов матрицы, получаем матрицу перехода A от репера  к реперу , имеющую (n +2) столбца и (n+1) строку

A = (1)

Матрица перехода от репера  к реперу  называется согласованной, если сумма первых (n+1) столбцов равна последнему столбцу.

Если матрица перехода от репера  к реперу  не является согласованной, то необходимо провести процедуру согласования. Для этого каждый i-ый столбец матрицы (1) умножаем на неопределенный множитель k_i. (Напомним, что проективные координаты точек задаются с точностью до ненулевого множителя).

Для определения неизвестных k_i, i=1,…,n+1, получаем систему линейных уравнений:

(2)

Решением системы (2) являются ненулевые множители k₁, k₂, …, k_n+1. Заметим, что система (2) имеет нетривиальное решение, так как её главный определитель отличен от нуля. Умножая каждый столбец матрицы (1) на соответствующий множитель, получаем согласованную квадратную матрицу A перехода от репера  к реперу 

A = (k_i) = [(a)]

Теперь, последний столбец, составленный из координат единичной точки Е, можно не записывать.

Рассмотрим векторное пространство Vⁿ⁺¹, порождающее проективное пространство Pⁿ. Пусть реперу  соответствует базис {a_i}, а реперу  – базис {a_i}. Тогда вектор m = x^ja_j = x¹a₁ + x²a₂ + … + xⁿ⁺¹a_n+1 порождает точку М. Поскольку векторы m и m порождают одну и ту же точку, то они коллинеарны. Пусть, например, m = m, R, 0. Векторы a_j, j = 1, …, n+1, раскладываются по базису a_j:

a_j = (a)a_i = (a)a₁ + (a)a₂ + … + (a)a_n+1

Итак,

m = m (x^ja_j) = yⁱ(a_i) = yⁱ(a)a_j

Таким образом, мы получили векторное равенство:

(x^ja_j) = [yⁱ(a)]a_j

Поскольку {a_j} базис в Pⁿ⁺¹, то имеем x^j = yⁱ(a), j = 1, …, n+1. Полагая для краткости (a) = b, окончательно имеем

x^j = byⁱ, j = 1, …, n+1. (3)

Это и есть формулы преобразования координат точки проективного пространства n измерений.

Запишем формулы (3) в развернутом виде:

(4)

где действительное число 0.

Для проективной плоскости P² формулы (4) имеют вид:

(5)

Аналогично для проективной прямой P¹.

(6)

Задача 19. Составить формулы преобразования проективных координат при переходе от репера  = (A₁, A₂, A₃, E) к реперу  = (A₁, A₂, A₃, E), если точки A₁ = (1, 0, –1), A₂ = (2, 1, 0), A₃ = (0, 0, 1) заданы своими координатами в репере , а для точки E рассмотреть два варианта: а) E(3, 1, 0,), б) E(1, 1, 2).

§8. Принцип двойственности

Отношение взаимной принадлежности точек, прямых и плоскостей в трехмерном пространстве обычно выражается словами: «точка принадлежит прямой», «прямая проходит через точку», «прямая принадлежит плоскости», «плоскость содержит прямую». Введем термин «инцидентность», обозначающий взаимную принадлежность. Будем говорить: «точка инцидентна прямой», «прямая инцидентна точке», «прямая инцидентна плоскости».

Принцип двойственности для проективной плоскости. Если верно некоторое утверждение «А» для точек и прямых, выраженное в терминах инцидентности, то верно также двойственное утверждение «А*», в котором слово «точка» заменено словом «прямая», а слово «прямая» – словом «точка».

Например: Через две различные точки на проективной плоскости проходит единственная прямая.

Двойственное утверждение: Две различные прямые на проективной плоскости имеют единственную общую точку.

Принцип двойственности для проективного пространства. Если верно некоторое утверждение «В» для точек, прямых и плоскостей, выраженное в терминах инцидентности, то верно также двойственное утверждение «В*», в котором слово «точка» заменено словом «плоскость», слово «прямая» остается без изменения, а слово «плоскость» заменяется на слово «точка».

Например: Две различные плоскости в трехмерном проективном пространстве имеют единственную общую прямую.

Двойственное утверждение: Через две различные точки на проективной плоскости проходит единственная прямая.

«Не слишком ли я прямолинеен?» –

подумал червяк и свернулся клубочком.

Из жизни животных.