6. На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями

соответственно. Написать уравнение прямой d, если (a b , c d) = -1/3. Проверить принадлежность прямых a, b, c одному пучку.

Решение.

Выпишем координаты прямых

и повторим решение задачи 5, поменяв слова «точка» и «прямая» местами. Мы воспользовались принципом двойственности точек и прямых на проективной плоскости.

7. Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.

Решение

Перейдем от общих уравнений прямых в аффинных координатах к общим уравнениям этих прямых в однородных координатах (см. задачу 3 из практического занятия 5). После этого воспользуемся решением предыдущей задачи.

Обратить внимание на двойственность понятий двойное отношение четырех точек на проективной прямой и двойное отношение четырех прямых пучка на проективной плоскости.

Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.

Список необходимых сведений. Гармонические четверки точек и прямых. Теорема Дезарга.

Практические задания

1. Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.

Решение

Напомним, что точки прямой (прямые пучка) находятся в гармоническом отношении, если . Далее решения задач из практического занятия 6 повторяются дословно.

2. Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.

Решение см., например, в [4 , с. 44].

3. Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда

а) центр и ось перспективы являются бесконечно удаленными элементами пополненной плоскости,

б) центр перспективы является бесконечно удаленной точкой пополненной плоскости, а ось перспективы – обыкновенной прямой этой плоскости,

в) ось перспективы является бесконечно удаленной прямой пополненной плоскости, а центр перспективы – обыкновенной точкой этой плоскости.

Сформулировать соответствующие теоремы аффинной геометрии.

4. Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.

Множество таких задач содержится в углубленном курсе элементарной геометрии. См., например, [19].

Обратить внимание на двойственность прямой и обратной теорем Дезарга. Обсудить понятие двойственных фигур, привести примеры двойственных фигур.

Темы 5, 6. Линии 2 порядка на проективной плоскости. Проективные преобразования проективных пространств.

Список необходимых сведений. Некоторые свойства линий 2 порядка на проективной плоскости в модели пополненной плоскости.

Проективные преобразования в координатах.

Проективная классификация линий 2 порядка относительно группы проективных преобразований. Связь с аффинной классификацией.

Практические задания

1. Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.

Решение для гиперболы.

Рассмотрим каноническое уравнение гиперболы на аффинной плоскости , где - координаты точек плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2.

Пополним плоскость несобственными точками и на пополненной плоскости рассмотрим проективную однородную систему координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 .

Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами . Подставим в уравнение гиперболы:

.

Умножив уравнение на , получим

Это уравнение гиперболы на пополненной плоскости в однородных координатах.

Аналогично можно получить уравнения других девяти кривых в однородных координатах на пополненной плоскости