§3. Модели проективного пространства

Рассмотрим математические примеры, подтверждающие корректность определения проективного пространства.

Говорят, что модель проективного пространства Pⁿ обозначена, если Pⁿ задано как множество и построено отображение f : (Vⁿ⁺¹\{0}) Pⁿ, удовлетворяющее условиям 1 и 2 определения Г. Вейля.

Проективную геометрию можно изучать в любой из ее реализаций.

1. Рассмотрим арифметическую проективную плоскость. Введем однородные координаты. В действительном векторном пространстве V³ выберем базис e₁, e₂, e₃, тогда любой вектор mV³ однозначно раскладывается по базису m¹e₁+m²e₂+m³e₃. Можно рассмотреть арифметическое векторное пространство всех упорядоченных троек действительных чисел {[m¹, m², m³]}, которое также будем обозначать V³. Во множестве P² точкой считаем упорядоченную тройку действительных чисел с точностью до ненулевого множителя. Например, (2,–1, 7) = (–4, 2, ). Построим отображение f: (V³\{0})P²; [m¹, m², m³](m¹, m², m³). Условия 1 и 2 определения Г. Вейля непосредственно проверяются.

Замечание. Множество P² является фактор множеством по отношению эквивалентности: две тройки действительных чисел эквивалентны, если одну из другой можно получить умножением на ненулевой множитель. Нулевая тройка не рассматривается.^-

2 . Рассмотрим действительное (n+1)-мерное аффинное (евклидово) пространство, в котором фиксируем некоторую точку О. Точкой n-мерного пространства Pⁿ будем считать прямую, проходящую через точку О. Ненулевой вектор порождает единственную прямую, коллинеарную ему и проходящую через точку O.

Аффинное пространство (n+1) измерений порождает векторное пространство Vⁿ⁺¹ (каждый вектор есть направленный отрезок с началом в точке О). Имеем отображение т.е. построено конкретное множество Pⁿ и конкретное отображение

f :(Vⁿ⁺¹\{0}) Pⁿ.

Для каждой прямой, проходящей через точку О, существует ненулевой вектор с началом в точке О, порождающий эту прямую. (На прямой достаточно взять точку М, отличную от точки О; вектор порождает эту прямую). Таким образом, f – сюръекция. Коллинеарные векторы порождают одну и ту же прямую, проходящую через точку О; обратно, любая прямая порождается коллинеарными векторами. Итак, связка прямых, проходящих через фиксированную точку (n+1)-мерного аффинного пространства, является моделью n – мерного проективного пространства.

3. Расширенная прямая. К аффинной прямой добавим еще одну точку, которую называем бесконечно удаленной, или несобственной. Приведем более подробное разъяснение.

Вложим аффинную прямую d в аффинную плоскость. Фиксируем точку О вне прямой. Как мы уже знаем, связка прямых, проходящих через точку О, есть модель проективной прямой P¹. Все прямые, проходящие через точку О, за исключением одной единственной, пересекают прямую d. Будем считать, что две параллельные в обычном смысле прямые, пересекаются в бесконечно удаленной точке Расширенной прямой называем прямую d , пополненную несобственной точкой .

4. Р асширенная плоскость. Каждую прямую аффинной плоскости пополняем несобственной точкой, так что пучок параллельных прямых пополняется одной бесконечно удаленной точкой. Если прямые не параллельны в обычном смысле, то они пополняются различными бесконечно удаленными точками. Все несобственные точки образуют несобственную прямую.

После окончания процедуры пополнения все точки и все прямые считаем равноправными.