§16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.

Определение. Преобразование проективной плоскости называется проективным, если точкам любой прямой соответствуют точки также лежащие на некоторой прямой.

Теорема. Проективное преобразование сохраняет сложное отношение четырех точек прямой.

Теорема. Пусть  и  – произвольные реперы проективной плоскости. Тогда существует одно и только одно проективное преобразование, которое переводит репер  в репер , при этом точка с данными координатами в репере  переходит в точку с теми же координатами в репере .

Следствие. Если проективное преобразование имеет четыре инвариантные точки, из которых ни какие три не лежат на одной прямой, то оно является тождественным преобразованием.

Свойства проективных преобразований:

1. При проективном преобразовании три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, также не лежащие на одной прямой.

2. При проективном преобразовании любой репер переходит в репер.

3. Проективное преобразование отображает прямую на прямую.

4. Проективное преобразование пучок прямых переводит в пучок прямых.

Теорема. Любое проективное преобразование плоскости имеет по крайней мере одну инвариантную точку и одну инвариантную прямую, которая не обязательно состоит из неподвижных точек.

Определение. Нетождественное проективное преобразование называется гомологией, если оно имеет, по крайней мере, три инвариантные точки, лежащие на одной прямой.

Можно легко доказать, что если точки A, В, и C, лежащие на одной прямой, являются неподвижными точками гомологии f, то все точки прямой (АВ) также являются инвариантными точками этой гомологии. Пусть М (АВ), М = f(М), тогда (АВ, СМ) = (АВ, СМ), поэтому М = M.

Прямая инвариантных точек называется осью гомологии.

Гомология имеет прямую инвариантных точек, и по принципу двойственности у гомологии существует пучок инвариантных прямых, проходящих через одну неподвижную точку, называемую центром гомологии. Гомология называется особой, если ее центр принадлежит оси и неособой в противном случае.

Таким образом, если S – центр, s – ось гомологии f, точка и точка M проективной плоскости не совпадает с центром, то S, M, f(M) коллинеарны, то есть принадлежат одной прямой. Если прямая d пересекает ось в некоторой точке D, то D – инвариантная точка, и D лежит на d = f(d).

Теорема. Если на плоскости даны прямая s и три попарно различные точки S, A, A, лежащие на одной прямой, причем ни одна из точек A и A не лежит на прямой s, то существует единственная гомология f с осью s и центром S и такая, что f(A) = A.

Задача 42. Построить образ произвольной точки (прямой) на расширенной плоскости при действии гомологии f, если заданы центр S и ось гомологии, точка A и ее образ A = f(A). ( Точки S, А и A принадлежат одной прямой).

- “Что такое окружность?”

- “Это проективная прямая”

- “Что такое эллипс?”

- “Это искаженная окружность”

- “Что такое овал?”

- “Это обобщенный эллипс”

Из диалогов студентов.

Глава 3. Линии второго порядка на проективной плоскости §17. Понятие проективной линии второго порядка

Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых в некотором репере удовлетворяют действительному однородному уравнению второй степени, т.е. уравнению вида

a₁₁(x¹)² + a₂₂(x²)² + a₃₃(x³)² + 2 a₁₂x¹ x² + 2 a₁₃x¹ x³ + 2 a₂₃x² x³ = 0 (1)

называется линией или кривой второго порядка.

В однородном уравнении второй степени все действительные числа a_ij не обращаются одновременно в нуль. Положим для удобства a_ij = a_ji i,j = , тогда уравнение линии второго порядка можно записать в виде:

a_ij xⁱ x^j = 0

Если очевидны пределы суммирования, то, следуя правилу А.Эйнштейна, знак суммы можно опустить:

a_ij xⁱ x^j = 0 (2)

Понятие линии второго порядка является геометрическим и не зависит от выбора репера на проективной плоскости. Если фигура в репере  = (A₁, A₂, A₃, E) имеет уравнение (2), а ' = (A'₁, A'₂, A'₃, E') – другой проективный репер, формулы преобразования координат точек при переходе от репера  к реперу ' представляются в следующем виде (см. §7,(3)):

λ x^j = b^j_i yⁱ , j = , λ ≠ 0 (3)

где (x¹, x², x³) – координаты точки в репере , а (y¹, y², y³) – координаты этой же точки в репере '. Подставляя выражения (3) в уравнение (2), имеем 0 = a_ij xⁱ x^j = a_ij (bⁱ_k y^k) (b^j_m y^m) = ( a_ij bⁱ_k b^j_m) y^k y^m.

Полагая a'_ij = a_rs b^r_i b^s_j, получаем уравнение линии второго порядка в репере ':

a'_ij yⁱ y^j = 0 (4)

Замечание. Индексы, по которым идет суммирование, называются "слепыми", их можно переобозначать, например: b^j_k y^k = b^j_p y^p.

Заметим, что det(b^j_k)³_i,k=1 ≠ 0. В курсе линейной алгебры доказывается, что при умножении матрицы A на невыраженную матрицу B ранг матрицы A не меняется.

rg(A) =rg(A·B).

Значит, rg(a_ij)³_i,j=1 = rg(a'_ij)³_i,j=1. Таким образом, в уравнении (4) не все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Тем самым доказано, что, во-первых, понятие линии второго порядка не зависит от выбора репера, и, во-вторых, ранг матрицы, составленной из коэффициентов уравнения линии второго порядка, также не зависит от выбора репера. Таким образом, можно определить понятие ранга линии второго порядка, как ранг матрицы коэффициентов ее уравнения в некотором, а значит и в любом репере.

Линия второго порядка называется невырожденной, если ее ранг максимален, т.е. равен 3 (в этом случае det(a_ij) ³_i,j=1 ≠ 0). И вырожденной, если rg(a_ij ) ³_i,j=1 < 3. (Заметим, что для любой линии второго порядка ее ранг не равен нулю).

Лемма. Любая проективная прямая имеет с невыражденной проективной линией второго порядка не более двух различных общих действительных точек.