5. Найти однородные координаты точки пересечения прямых

2x – 3y + 5 =0, 5x + 2y – 1 = 0.

Решение.

Решим систему уравнений

и найдем аффинные координаты точки пересечения прямых.

Мы предполагаем, что система имеет решение. В противном случае прямые не пересекаются на аффинной плоскости.

Найдем однородные координаты точки пересечения. Так как для конечных точек плоскости , то . Мы воспользовались формулами связи между аффинными и проективными координатами точек.

Итак, однородные координаты точки пересечения прямых имеют вид

Замечание. Если система не имеет решения, то прямые параллельны на аффинной плоскости. В этом случае их уравнения пропорциональны и можно считать, что прямые задаются уравнениями На пополненной плоскости они пересекаются в общей несобственной точке .

6. Найти аффинные координаты точки пересечения прямых

x1 – 3x2 + 4x3 =0, 5x1 + 2x2 – x3 = 0.

Решение.

Решим систему уравнений

и найдем однородные координаты их точки пересечения. Они определены с точностью до пропорциональности.

Если , то . Тогда - аффинные координаты точки пересечения прямых.

Если , то точка пересечения прямых является несобственной точкой плоскости и не имеет аффинных координат.

7. Найти однородные координаты точки пересечения прямой

5x1 + 2x2 – x3 = 0 и бесконечно удаленной прямой.

Решение

Рассмотрим общее уравнение прямой на пополненной плоскости , где - координаты точек относительно проективной системы координат R={E1,E2,E3,E}, E1,E2 - несобственные точки пополненной плоскости. Несобственная прямая имеет уравнение . Следовательно, координаты несобственной точки прямой удовлетворяют уравнению

Так как проективные координаты определяются с точностью до пропорциональности, то - проективные координаты несобственной точки данной прямой.

Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.

Список необходимых сведений. Уравнения прямой на проективной плоскости. Проективные координаты прямой. Обоснование принципа двойственности на проективной плоскости.

Двойное (сложное отношение) четырех точек, лежащих на одной прямой. Двойное (сложное отношение) четырех прямых, принадлежащих одному пучку.

Практические задания

1. На проективной плоскости даны две точки и своими координатами относительно некоторой проективной системы координат R. Написать параметрическое и общее уравнения прямой, проходящей через точки А и В.

Решение.

1. Параметрическое уравнение прямой имеет вид

,

где u, v произвольные действительные числа.

2. Общее уравнение прямой найдем из уравнения

.

2. Найти координаты точки пересечения прямых, если заданы по две точки на каждой из них.

Решение.

1. Напишем общие уравнения прямых, проходящих через заданные точки. Для этого используем решение предыдущей задачи.

2. Решим систему из двух уравнений, найденных в пункте 1), и найдем координаты их точки пересечения.

3. Найти двойное отношение четырех точек на проективной прямой

A, B, C, D.

Решение.

По определению двойного отношения

4. На проективной прямой дано двойное отношение четырех точек и координаты трех из них. Найти координаты четвертой точки, если

(AB,CD)=k, A , B, C.

Решение.

Обозначим координаты точки D через . По условию и по определению двойного отношения

Получим

Координаты и не могут одновременно равняться нулю.

Если, например, , то можно разделить числитель и знаменатель дроби на . Получим

Решив это уравнение относительно , получим численное значение =.

Тогда координаты точки D будут =

Замечание. Если , то можно делить на и решать аналогично.

5. На проективной плоскости дано двойное отношение четырех точек и координаты трех из них. Найти координаты четвертой точки, если (AB,CD)= -1, A, B , C. Проверить коллинеарность точек A, B, C.

Решение

1. Проверим коллинеарность точек А, В, С.

Точки A, B , C порождаются векторами a, b, c. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы a, b, c линейно зависимы. Чтобы установить это или опровергнуть, проверим равенство или соответственно неравенство нулю определителя

.

Если определитель равен нулю, то точки коллинеарны. В противном случае неколлинеарны.

2. При условии что точки коллинеарны, найдем координаты четвертой точки D.

Замечание. Эту задачу нельзя решать как предыдущую, так как нам известны не две, а три координаты точек. Для формул же двойного отношения точки должны иметь по две координаты.

Теорема. Пусть на проективной плоскости задана проективная система координат R={E1,E2,E3,E} и точка М имеет координаты относительно R.

Пусть и - проекции точек Е и М из центра на прямую,

и - проекции точек Е и М из центра на прямую ,

и - проекции точек Е и М из центра на прямую .

Тогда точки имеют координаты

на прямой относительно R={E2,E3,E},

на прямой относительно R,

на прямой относительно R

Теорема. При центральном проектировании двойное отношение точек не меняется, то есть двойное отношение точек равно двойному отношению их образов.

Рассмотрим проекции точек A, B, C, D на прямую .

В силу теорем

, (1)

, (2)

. (3)

Координаты , , не могут одновременно равняться нулю.

Если, например, , то в равенствах (1) и (2) можно разделить числитель и знаменатель дроби на . Равенство (3) в этом случае нам не понадобится. Из (1) и (2) найдем численные значения .

Получим для координат точки .

Если , то либо , либо . Выберем ту координату , для которой и повторим для нее рассуждения как для координаты .