§5. Проективные координаты на плоскости

Критерий коллинеарности трех точек. Три точки A(a¹, a², a³), B(b¹, b², b³), C(c¹, c², c³), заданные их координатами в репере на действительной проективной плоскости, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю:

К ритерий коллинеарности трех точек на проективной плоскости следует из критерия компланарности трех векторов в трехмерном пространстве: три вектора компланарны (т.е. параллельны одной плоскости), если и только если определитель, составленный из их координат равен нулю.

Рассмотрим подробнее репер на проективной плоскости.

Теорема о координатах проекции точки на координатную прямую.

Если произвольная точка M(m¹, m², m³), не равная A₂, задана в репере (A₁, A₂, A₃, E), то ее проекция M₂ из точки A₂ на вторую координатную прямую (A₁A₃) в репере ₂(A₁, A₂, E₂) имеет координаты (m¹, m³).

Доказательство. Для любой точки X(x¹, x², x³) на (A₁A₃) имеем согласно критерию

Таким образом, для точки M₂ в репере  вторая координата равна нулю. Пусть точка M₂ в репере  имеет координаты (y¹, 0, y³). Применяем критерий для точек A₂, M₂, M, лежащих на одной прямой:

= – = 0. y¹=pm¹, y³=pm³, p0.

Без ограничения общности, можно положить р = 1. На плоскости рассмотрим, например, аффинный репер (A₂, a₁, a₃), порождающий проективный репер ₂(A₁, A₃, E₂) на второй координатной прямой (A₁, A₃).

В трехмерном аффинном пространстве существует согласованный базис a₁, a₂, a₃, e относительно репера ₂(A₁, A₂, A₃, E). Так как точки M₂ и E₂ имеют, соответственно, координаты (m¹, 0, m³), (1, 0, 1) в , то векторы e₂ = a₁ + a₃, m₂ = m¹a₁ + m³a₃ порождают, соответственно, точки E₂ и M₂.

Задача 15. На расширенной плоскости задан проективный репер (A₁, A₂, A₃, E), все четыре точки собственные. Построить следующие точки по их координатам: M(1, 2, 0), N(0, –2, –1), P(1, 2, 1), Q(0, –4, 0).

Задача 16. Пусть единичная точка Е является точкой пересечения медиан (центром тяжести) координатного трехвершинника A₁, A₂, A₃. Построить точку М(1, 1, –1) по ее координатам в проективном репере (A₁, A₂, A₃, E) на расширенной плоскости .

§6. Уравнение прямой на проективной плоскости

На проективной плоскости P² выберем репер (A₁, A₂, A₃, E) и две различные точки B(b¹, b², b³) и C(c¹, c², c³) с определенными координатами в заданном репере. Известно, что необходимым и достаточным условием принадлежности трех точек X(x¹, x², x³), B, C одной прямой является равенство нулю определителя, составленного из координат этих точек.

(1)

Это и есть один из способов написать уравнение прямой (ВС).

Поскольку В и С различные точки, то ранг матрицы

(2)

поэтому вектор-строка (x¹, x², x³) линейно выражается через векторы-строки (b¹, b², b³) и (c¹, c², c³), то есть существуют не равные одновременно нулю числа и , что

(3)

Мы получили так называемые параметрические уравнения прямой (ВС), где и – параметры, при изменении которых меняется положение текущей точки Х на прямой (ВС).

Теорема. Если на проективной плоскости задан репер, то установлено взаимно однозначное соответствие между классами равносильных однородных уравнений первой степени и всеми проективными прямыми.

Доказательство. Раскрыв определитель в левой части равенства (1) по первой строке, имеем

u₁x¹ + u₂x² + u₃x³ = 0, (4)

где u₁ = , u₂ = , u₁ = .

Мы действительно получили однородное уравнение первой степени, поскольку из равенства (2) следует, что все коэффициенты u₁, u₂, u₃ одновременно не могут быть равны нулю. Координаты точек В и С задаются с точностью до ненулевого множителя, поэтому и координаты u₁, u₂, u₃ также определяются с точностью до ненулевого множителя. Если же уравнение (4) умножить на некоторое число р, отличное от нуля, то получим

(4)

Ясно, что уравнения (4) и (4) равносильны.

Обратно, пусть в искомом репере  на проективной плоскости задано уравнение (4), являющееся однородным и первой степени. Допустим, что u₁0 (Если u₁=0, то отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов u₂ или u₃). Точки P(–u³, 0, u¹) и Q(–u², u¹, 0) имеют координаты, удовлетворяющие уравнению (4). Рассмотрим прямую (PQ):

= u¹(u¹x₁ + u²x₂ + u³x₃) = 0.

После сокращения на u₁0 приходим к уравнению (4).

В качестве примера запишем уравнения первой координатной прямой (A₂A₃): x¹ = 0, второй координатной прямой (A₁A₃): x² = 0, третьей координатной прямой (A₁A₂): x³ = 0.

Определение. Коэффициенты уравнения (4) называются координатами прямой.

Т.о., прямая (A₂A₃) имеет координаты (1, 0, 0), (A₁A₃) – (0, 1, 0), (A₁A₂) – (0, 0, 1).

Задача 17. Построить прямую a(1, 2, –2) по ее координатам относительно заданного на расширенной плоскости проективного репера (A₁, A₂, A₃, E).

Задача 18. Доказать, что прямые a(a¹, a², a³), b(b¹, b², b³), c(c¹, c², c³), заданные своими координатами в некотором репере на проективной плоскости, проходят через одну точку тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю, т.е.

= 0