- •Глава 1. Первоначальные понятия, определения, факты. §1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование
- •§2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства
- •§3. Модели проективного пространства
- •§4. Понятие проективных координат
- •§5. Проективные координаты на плоскости
- •§6. Уравнение прямой на проективной плоскости
- •§7. Преобразование проективных координат
- •§8. Принцип двойственности
- •Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга
- •§10. Сложное отношение четырех точек прямой
- •§11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости
- •§12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости
- •§13. Проективные отображения прямых и пучков
- •§14. Теорема Паппа
- •§15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
- •§16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.
- •Глава 3. Линии второго порядка на проективной плоскости §17. Понятие проективной линии второго порядка
- •§18. Проективная классификация линий второго порядка.
- •§19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
- •§20. Полюс, поляра, поляритет.
- •§21. Теорема Штейнера.
- •§22. Теоремы Паскаля и Брианшона .
- •§23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона
- •Связь между проективными и аффинными координатами. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
- •Приложение 1 Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.
- •Задачи с решениями по всему курсу.
- •М етодические указания
- •Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия
- •1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
- •2. Построение проективного пространства
- •3. Проективные координаты точек, проективные системы координат
- •4. Линии 1 порядка на проективной плоскости
- •5. Линии 2 порядка на проективной плоскости
- •6. Проективные преобразования проективных пространств
- •7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- •Практические задания с решениями
- •Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
- •Тема 2. Построение проективного пространства
- •Построить образы отрезка, луча, прямой, угла, треугольника, окружности при параллельном и центральном проектировании. Рассмотреть различное расположение центра проекций и плоскости проекций.
- •Построить следующие сечения конуса плоскостями: эллипсы, параболы, гиперболы.
- •Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Первое занятие.
- •На проективной прямой в модели пучка прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b).
- •На проективной плоскости в модели связки прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b:c).
- •Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
- •Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
- •Найти однородные координаты точки пересечения прямых
- •Найти аффинные координаты точки пересечения прямых
- •Найти однородные координаты точки пересечения прямой
- •Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.
- •На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями
- •Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.
- •Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.
- •Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
- •Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
- •Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
- •Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
- •Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
- •Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
- •Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
- •Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
- •Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- •Список рекомендуемой литературы Основной
Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
Список необходимых сведений. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнения прямой на проективной плоскости. Однородные координаты точек на пополненной плоскости и на пополненной прямой.
Практические задания
-
Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
Решение.
Пусть проективная однородная система координат на пополненной плоскости задана так: R={E1,E2,E3,E}, где E1,E2 - несобственные точки пополненной плоскости.
Тогда несобственная прямая имеет уравнение .
В самом деле, несобственные точки плоскости и только они порождаются векторами с координатами относительно базиса
e1 , e2, e3 , причем векторы ei порождают точки Ei , а вектор e1 + e2 + e3 - точку E. Следовательно, несобственные точки имеют координаты .
Задание. Пусть проективная однородная система координат на пополненной плоскости задана так: R={E1,E2,E3,E}, где E2,E3 или E1,E -- несобственные точки пополненной плоскости. Какое уравнение будет иметь несобственная прямая?
-
Решение задач на формулы связи аффинных и однородных проективных координат точек. Уметь находить однородные координаты точек по их аффинным координатам и, наоборот, по аффинным координатам проективные координаты на прямой.
Решение.
Пусть на пополненной плоскости даны аффинная система координат Oe1e2 и проективная однородная система координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 . Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами.
1) Рассмотрим точку с аффинными координатами и найдем ее однородные координаты . Если точка имеет аффинные координаты, то она не является несобственной. Следовательно, .
Так как проективные координаты определяются с точностью до пропорциональности, то .
2) Рассмотрим точку с однородными координатами и найдем ее аффинные координаты .
Если , то точка является несобственной и не имеет аффинных координат.
Если , то аффинные координаты точки находятся по формулам связи .
-
На плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2 дано общее уравнение прямой. Написать уравнение этой прямой в однородных координатах относительно проективной системы координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 .
Какие однородные координаты имеет бесконечно удаленная точка этой прямой?
Решение.
Общее уравнение прямой имеет вид , где - координаты точек плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2.
Пополним плоскость несобственными точками и на пополненной плоскости рассмотрим проективную однородную систему координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 . При этом прямая пополнится ровно одной несобственной точкой с однородными координатами , остальные точки прямой будут иметь координаты .
Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами . Подставим в общее уравнение прямой: .
Умножив уравнение на , получим Это уравнение пополненной прямой.
-
На плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2 написать общее уравнение прямой, если дано уравнение этой прямой в однородных координатах относительно проективной системы координат R={E1,E2,E3,E}, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2 .
Решение
Общее уравнение прямой на пополненной плоскости имеет вид , где - координаты точек относительно проективной системы координат R={E1,E2,E3,E}, E1,E2 - несобственные точки пополненной плоскости. Рассмотрим аффинную систему координат Oe1e2, где O = E3 , а точки E1, E2 порождаются векторами e1 , e2.
На конечной части плоскости . Разделим общее уравнение на : . Формулы связи между аффинными и проективными однородными координатами . Получим , где - координаты точек плоскости относительно аффинной системы координат Oe1e2.
В следующих задачах связь между аффинными и однородными координатами считается как в задачах 2, 3.