§21. Теорема Штейнера.

Теорема Штейнера позволяет дать геометрическое определение овальной линии второго порядка при помощи отображения одного пучка прямых на другой.

Теорема Штейнера. На проективной плоскости множество точек пересечения соответствующих прямых двух проективных, но не перспективных пучков есть невырожденная кривая второго порядка. И обратно, два пучка с центрами на кривой второго порядка, у которых соответствующие прямые пересекаются на этой кривой – проективны.

Доказательство. Пусть даны два пучка с различными центрами O₁ и O₂ и установлено проективное, но не перспективное отображение f первого пучка на второй. Докажем, что множество γ точек пересечения соответственных прямых этих пучков есть овальная линия, проходящая через точки O₁ и O₂.

О бозначим через m прямую (O₁O₂) и рассмотрим прообраз n этой прямой m=f(n). Отображение f зададим с помощью трех попарно различных прямых n, m, l пучка O₁ и их образов m, m′, l′ в пучке O₂:

f: n m; m m′; l l′

Прямые n, m′, l′ попарно различны, так как f не является перспективным отображением, поэтому точки O₁=n∩m, O₂=m∩m′ и O₃=n∩m′ не лежат на одной прямой, точка E=l∩ l′ не принадлежит прямым m, m′, n, следовательно, мы получим репер  = (O₁, O₂ , O₃ ,E,).

Пусть X (x¹, x², x³) произвольная точка, не лежащая на сторонах трехвершинника O₁O₂O₃ . По определению сложного отношения прямых (mn, l(O₁ X)) = (O₂O₃,E₁,X₁), и (m′m, l′(O₂ X)) = (O₃O₁,E₂,X₂) (см. рисунок 18).

В репере R₂ = (O₂, O₃ ,E₁) на координатной прямой (O₁O₂) точка X₁ имеет координаты (x², x³), поэтому (O₂O₃,E₁,X₁) = . Аналогично, (O₃O₁,E₂,X₂) = . Таким образом, (mn, l(O₁X)) = ; (m′m, l′(O₂X)) = .

Если X γ, то в силу сохранения проективным отображением сложного отношения имеем (mn, l (O₁ X)) = (m′m, l′ (O₂X)).

Поэтому = , и мы получаем уравнение линии второго порядка:

(x¹x²) - (x³)² = 0 (1)

Если Х γ, то (mn, l (O₁X)) ≠ (m′m, l′ (O₂X)), и ≠ , т.е. координаты точки Х не удовлетворяют уравнению (1). Если точка X лежит на сторонах трехвершинника O₁O₂O₃, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), если, и только если Х совпадает с одной из точек O₁(1,0,0) и O₂(0,1,0), которые принадлежат множеству γ. Уравнение (1) есть уравнение второй степени, ранг максимален, следовательно, оно определяет невыраженную линию второго порядка, на которой есть действительные точки O₁ и O₂, т.е. овальную линию.

Обращая рассуждения, получаем вторую часть теоремы Штейнера.

Задача 47. Сформулировать предложение, двойственное теореме Штейнера.

§22. Теоремы Паскаля и Брианшона .

Пусть шесть точек A₁, A₂,…, A₆ заданы на овальной линии второго порядка. Тогда три точки пересечения прямых (A₁, A₅) и (A₂, A₄), (A₃, A₄) и (A₁, A₆), (A₂, A₆) и (A₃, A₅) лежат на одной прямой.

Если шестивершинник есть любая шестизвенная замкнутая ломанная, а под сторонами шестивершинника понимают прямые, содержащие звенья ломанной, то теорему Паскаля можно сформулировать следующим образом.

Теорема Паскаля. Противолежащие стороны шестивершинника, вписанного в овальную линию второго порядка, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Рисунок 19.

Д оказательство. Пусть вершины шестивершинника A₁ A₂ A₃ A₄ A₅ A₆ лежат на овальной линии γ. Докажем, что точки O = (A₁A₆) ∩ (A₃A₄), N = (A₂A₄) ∩ (A₁A₅) и N′ = (A₂A₆) ∩ (A₃A₅) лежат на одной прямой (см. рисунок 20).

Р исунок 20.

Пусть f – проективное отображение пучков с центрами A₁ и A₃, которое устанавливается овальной линией γ согласно теореме Штейнера. Отображение f порождает проективное отображение φ: (A₂, A₄)→(A₂, A₆), в которой каждой точке Х₁ на (A₂, A₄) соответствует точка Х₂ прямой (A₂,A₆), такая, что прямые (A₁, Х₁) и (A₃,Х₂) пересекаются в точке Х, принадлежащей линии γ. Поскольку φ(A₂)= A₂, то φ – перспективное отображение, центром его является точка O, причем N′ = φ(N), следовательно N, O, N′ принадлежат одной прямой.

Обратная теорема Паскаля. Если точки пересечения противоположных сторон шестивершинника лежат на одной прямой, то все его вершины лежат на овальной линии второго порядка.

Замечание. Если в теореме Паскаля овальную линию заменить на пару прямых, то мы приходим к теореме Папа.

Двойственной к теореме Паскаля является следующая

Теорема Брианшона. Шестивершинник описан около овальной линии второго порядка тогда и только тогда, когда его большие диагонали пересекаются в одной точке.

Задача 48. Даны пять точек общего положения и прямая, проходящая через одну из них и не проходящая через остальные точки. Построить вторую точку пересечения данной прямой с овальной линией, проходящей через данные пять точек.