- •Глава 1. Первоначальные понятия, определения, факты. §1. Возникновение проективной геометрии. Центральное проектирование
- •§2. Понятие проективного пространства. Простейшие свойства
- •§3. Модели проективного пространства
- •§4. Понятие проективных координат
- •§5. Проективные координаты на плоскости
- •§6. Уравнение прямой на проективной плоскости
- •§7. Преобразование проективных координат
- •§8. Принцип двойственности
- •Глава 2. Некоторые линейные образы проективной геометрии §9. Теорема Дезарга
- •§10. Сложное отношение четырех точек прямой
- •§11. Сложное отношение четырех прямых пучка проективной плоскости
- •§12. Полный четырехвершинник на проективной плоскости
- •§13. Проективные отображения прямых и пучков
- •§14. Теорема Паппа
- •§15. Преобразования проективной прямой. Инволюции.
- •§16. Преобразования проективной плоскости. Гомологии.
- •Глава 3. Линии второго порядка на проективной плоскости §17. Понятие проективной линии второго порядка
- •§18. Проективная классификация линий второго порядка.
- •§19. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка.
- •§20. Полюс, поляра, поляритет.
- •§21. Теорема Штейнера.
- •§22. Теоремы Паскаля и Брианшона .
- •§23. Предельные случаи теорем Паскаля и Брианшона
- •Связь между проективными и аффинными координатами. Геометрия аффинной плоскости с проективной точки зрения.
- •Приложение 1 Ответы, указания, решения задач к главам 1, 2, 3.
- •Задачи с решениями по всему курсу.
- •М етодические указания
- •Приложение 2 Содержание курса Проективная геометрия
- •1.Сравнительное изложение аффинной и евклидовой
- •2. Построение проективного пространства
- •3. Проективные координаты точек, проективные системы координат
- •4. Линии 1 порядка на проективной плоскости
- •5. Линии 2 порядка на проективной плоскости
- •6. Проективные преобразования проективных пространств
- •7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- •Практические задания с решениями
- •Тема 1. Сравнительное изложение аффинной и евклидовой геометрий
- •Тема 2. Построение проективного пространства
- •Построить образы отрезка, луча, прямой, угла, треугольника, окружности при параллельном и центральном проектировании. Рассмотреть различное расположение центра проекций и плоскости проекций.
- •Построить следующие сечения конуса плоскостями: эллипсы, параболы, гиперболы.
- •Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Первое занятие.
- •На проективной прямой в модели пучка прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b).
- •На проективной плоскости в модели связки прямых построить прямую пучка (проективную точку) с координатами (a:b:c).
- •Тема 3. Проективные координаты точек, проективные системы координат. Второе занятие.
- •Написать уравнение бесконечно удаленной прямой в однородных координатах. Рассмотрите разные системы однородных координат на пополненной плоскости.
- •Найти однородные координаты точки пересечения прямых
- •Найти аффинные координаты точки пересечения прямых
- •Найти однородные координаты точки пересечения прямой
- •Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Первое занятие.
- •На проективной плоскости прямые a, b, c заданы уравнениями
- •Решить аналогичную задачу, если прямые заданы общими уравнениями в аффинных координатах.
- •Тема 4. Линии 1 порядка на проективной плоскости. Второе занятие.
- •Решение задач, аналогичных рассмотренным в практическом занятии №6, в случае гармонического отношения четырех точек проективной прямой или четырех прямых пучка.
- •Построение четвертой гармонической точки прямой или четвертой гармонической прямой пучка для трех данных точек или прямых соответственно.
- •Сделать рисунки к теореме Дезарга в случаях, когда
- •Решение задач на аффинной плоскости с использованием теоремы Дезарга.
- •Записать аффинное уравнение кривой 2 порядка в однородных координатах и, наоборот, записать однородное уравнение кривой 2 порядка в аффинных координатах.
- •Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
- •Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
- •Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
- •Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
- •Список рекомендуемой литературы Основной
-
Найти точки пересечения кривых из задачи 1 с несобственной прямой.
Решение
Найдем пересечение гиперболы с бесконечно удаленной прямой. Иными словами, найдем множество бесконечно удаленных точек гиперболы.
Бесконечно удаленная прямая имеет уравнение . Следовательно, координаты бесконечно удаленных точек гиперболы удовлетворяют уравнению . Решим это уравнение:
Из последних равенств получаем
Так как мы получили два решения, то гипербола имеет две бесконечно удаленных точки с координатами
Мы использовали тот факт, что числа не могут одновременно равняться нулю. Следовательно, и можно делить координаты на В противном случае бесконечно удаленные точки гиперболы имеют координаты , что невозможно.
Напомним, что асимптоты гиперболы имеют уравнения Или в общем виде Бесконечно удаленные точки асимптот имеют координаты
Итак, на пополненной плоскости гипербола пересекается с асимптотами в общих бесконечно удаленных точках.
-
Даны канонические уравнения эллипса и гиперболы на аффинной плоскости. Записать эти уравнения в однородных координатах и найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга.
Решение.
1) Рассмотрим канонические уравнения эллипса и гиперболы
Запишем их в однородных координатах
Чтобы найти проективное преобразование, переводящее кривые друг в друга, перепишем уравнения в более удобном виде
-
Рассмотрим проективное преобразование
,
т.е. .
Оно переводит первую кривую в кривую с уравнением
.
Штрихи над координатами означают, что полученная кривая является образом первой кривой. После того как образ получен, штрихи можно не писать. Получим уравнение гиперболы в однородных координатах.
Итак, мы нашли проективное преобразование, переводящее эллипс в гиперболу на пополненной плоскости. Напомним, что это невозможно сделать аффинным преобразованием аффинной плоскости. Это означает, что данные кривые принадлежат одному классу проективно эквивалентных кривых.
-
Решить предыдущую задачу для следующих кривых:
а) эллипса и параболы,
б) гиперболы и параболы,
в) параллельных и пересекающихся прямых.
Сделать вывод о проективной эквивалентности этих кривых. Вспомнить, почему они не являются аффинно эквивалентными кривыми.
Тема 7. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии
Примеры задач школьного курса, решаемые средствами проективной геометрии можно найти в пособиях из основного списка [3, c.128], [4, c.85], [5, c.86], а также в [19].
Список рекомендуемой литературы Основной
1.Александров П.С, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979.
2.Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.
3.Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия, ч. 2. – М.: Просвещение, 1976.
4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2 - М.: Просвещение, 1987. -352 с.
5. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. Ч.2. - М.: Просвещение, 1975. – 367 с.
6. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983. – 288 с.
7. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990. – 672 с.
8. Гильберт Д., Кон – Фоссен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981. – 344 с.
9. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. – М.: Мир, 1970.-160 с.
10. Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики. – М.: Издательство ин лит. -1957 -410 с.
11. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969.-283 с.
12. Базылев В.Т., Дуничев К.И. и другие. Сборник задач по геометрии. – М.:Просвещение, 1980 – 238с.
Дополнительный
-
Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии. – М.-Л.: Учпедгиз, 1949.
-
Глаголев Н.А. Проективная геометрия, 2-е изд. - М.-Л.: Гостехиздат, 1963.
-
Гильберт Д. Основания геометрии. - М.-Л..: Гостехиздат, 1948.
-
Дорфман А.Г. Оптика конических сечений. – М.: Физматгиз, 1959.
-
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. - М.: Наука, 1978.
-
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970.
-
Заславский А.А. Геометрические преобразования. – М.: МЦНМО, 2003.
-
Кокстер Х.С.М. Действительная проективная плоскость. - М.: Физматгиз, 1959.
-
Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966.
-
Коксетер Г.С..М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.
-
Клейн Ф. Высшая геометрия. – М.-Л.: 1939.
-
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? – М.: Просвещение, 1967.
-
Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. – М.: ГИТТЛ, 1953.
-
Певзнер С.Л. Проективная геометрия. – М.: Просвещение, 1980.
-
Погорелов А.В. Геометрия. - М.: Наука.
-
Постников М.М. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1973.
-
Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. – М.: МЦНМО, 2000.
-
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 4-е изд., доп. – М.: МЦНМО, 2002
-
Розенфельд Б.А. Неэвклидовы геометрии. - М.: 1955.
-
Розенфельд Б.А., Сергеева Н.Д. Стереографическая проекция. – М.: Наука, 1973.
-
Скопец З.А. Конические сечения. Энциклопедия элементарной математики, кн. 5. – М.: Наука, 1966.
-
Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского. – М.: Гостехиздат, 1956.
-
Четвертухин Проективная геометрия
-
Юнг Дж. В. Проективная геометрия. – М.: 1949.
-
Яглом И.М. Геометрические преобразования, ч.I,2. - М.: Гостехиздат, 1955, ч.II. - М.: Гостехиздат, 1956.
26.Яглом И.М., Атанасян Л.С. Геометрические преобразования. Энциклопедия элементарной математики, кн. 4. – М.: Физматгиз, 1963