1.3.4. Связь между консервативной силой и изменением потенциальной энергии

Между изменением потенциальной энергии и консервативной силой существует связь, которую можно установить на основании (3.12).

При бесконечно малом изменении потенциальной энергии выполняется элементарная работа

.

(3.13)

Элементарную работу можно представить в таком виде (см. формулу (8) математического введения для скалярных произведений векторов):

,

(3.14)

а изменение потенциальной энергии W_p=W_p(x, y, z) как полный дифференциал:

.

(3.15)

Подставив (3.14) и (3.15) в (3.13), получим

.

Последнее выражение имеет место лишь в том случае, если

.

Следовательно,

.

(3.16)

Выражение (3.16) можно записать в компактном виде:

.

(3.17)

Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому со знаком минус. Знак минус означает, что сила направлена в сторону убыли потенциальной энергии.

В частном случае, когда потенциальная энергия зависит лишь от одной координаты x,

.

(3.18)

Пример. Работа по растяжению пружины на величину x расходуется на увеличение ее потенциальной энергии W_p. На основании (3.6) имеем

.

(3.19)

где k – жесткость пружины.

Используя (3.18), получаем выражение F=-kx, представляющее собой закон Гука (см. (2.16)).

1.3.5. Закон сохранения механической энергии

Рассмотрим незамкнутую неконсервативную систему тел. Поскольку система тел незамкнута, то на нее действуют внешние силы. Суммарный вектор внешних сил обозначим через _внеш. Поскольку система неконсервативна, то в ней наряду с консервативными силами _конс действуют также неконсервативные силы, которые для определенности будем считать силами трения _тр.

Таким образом, суммарная сила, действующая на тела рассматриваемой системы =_внеш+_конс+_тр. Под действием этой силы будет совершаться работа

.

(3.20)

В результате система перейдет из одного состояния в другое, т.е. произойдет изменение скоростей тел и их взаимных положений. Другими словами, изменится кинетическая энергия тел и потенциальная энергия их взаимодействия. При этом работа суммарной силы приводит к изменению кинетической энергии тел:

.

(3.21)

а работа консервативных сил – к изменению потенциальной энергии:

.

(3.22)

Подставив (3.21) и (3.22) в (3.20), получим

.

Величина

называется механической энергией. Таким образом, изменение механической энергии незамкнутой неконсервативной системы равно работе внешних сил и сил трения

.

Если , то механическая энергия системы возрастает; при – убывает. Заметим, что работа сил трения всегда отрицательна, поэтому она всегда приводит к убыли механической энергии. Замкнутая система тел, в которой механическая энергия убывает с течением времени, называется диссипативной.

Если же система замкнута и консервативна, то А_вн=0 и А_тр=0, поэтому

.

Мы получили закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой консервативной системы с течением времени остается постоянной.

Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы (например, силы трения), то механическая энергия может переходить в другие виды энергии (например, в тепловую). Однако и в этом случае с учетом всех видов энергии в изолированной системе выполняется одни из наиболее фундаментальных законов природы – закон сохранения энергии: в замкнутой системе энергия может переходить из одной формы в другую, но ее общее количество остается постоянным.

Если система незамкнута, то она может обмениваться энергией с другими телами. При этом энергия системы может либо возрастать, либо убывать. Убыль энергии системы компенсируется ее ростом в окружающей среде, т.е. в системе тел, не входящих в рассматриваемую систему.