7.7. Релятивистский импульс. Релятивистское уравнение движения

В классической механике Галилея – Ньютона считалось, что масса есть величина абсолютная, т.е. ее значение одинаково в любых ИСО. Однако к концу XIX в. при исследовании движения быстрых электронов в магнитных полях было обнаружено, что масса зависит от скорости:

,

(7.11)

где m₀ – масса покоя, т.е. масса тела в системе отсчета, где его скорость равна нулю.

Выражение (7.11) можно вывести, исходя из закона сохранения импульса и преобразований Лоренца. График зависимости массы от скорости показан на рис. 7.4. Видно, что масса тела неограниченно возрастает при vс. Отсюда, между прочим, следует, что тело с ненулевой массой покоя (m₀  0) нельзя разогнать до скорости, в точности равной скорости света в вакууме. Если же масса покоя частицы равна нулю (m₀ = 0), то такая частица существует лишь двигаясь со скоростью v=c (не меньше и не больше, например, фотон).

Рис. 7.4.

Заметим, что в среде скорость света уменьшается в n раз, где n показатель преломления среды. В такой среде скорость частицы (например, электрона) может превышать c/n (т.е. скорость света в данной среде), оставаясь меньше c. В этих условиях заряженные частицы быстро теряют свою энергию на излучение электромагнитных волн (эффект Вавилова Черенкова).

Второй закон Ньютона в форме

не инвариантен (т.е. не сохраняет свой вид) по отношению к преобразованиям Лоренца, поэтому в таком виде он непригоден для релятивистских частиц. Для того, чтобы закон был инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца, его нужно переписать в виде

(7.12)

где учтено, что масса частицы зависит от скорости в соответствии с (7.11).

Формулу (7.12) можно записать также в виде

,

(7.13)

где

–

(7.14)

релятивистский импульс.

В формуле (7.12) массу нельзя выносить за знак дифференциала, так как если v=v(t), то в соответствии с (7.11) масса также будет зависеть от времени. Раскрывая производную в (7.12), получаем релятивистское уравнение движения:

,

(7.15)

Из уравнения (7.15) найдем ускорение , приобретаемой под действием силы :

,

(7.16)

При малых скоростях (v<<c) можно считать, что m=const, поэтому и уравнение (7.16) переходит в нерелятивистское уравнение Ньютона (2.1). В нерелятивистском случае, как видно из уравнения (2.1), ускорение направлено в сторону действия силы ^. В то же время, как видно из (7.16), направления векторов a и F в области больших скоростей не совпадают – здесь ^.

7.8 Взаимосвязь массы и энергии. Динамический инвариант

Вычислим работу силы F, действующей на тело массой m и направленной вдоль перемещения:

.

Подставив сюда F из (7.15), получим

.

(7.17)

Это выражение можно упростить, если воспользоваться соотношением (7.11). Для этого перепишем его в виде

и продифференцируем

.

Отсюда

.

(7.18)

С учетом (7.18) выражение (7.17) можно представить в виде

,

(7.19)

т.е. работа определяется приращением массы тела.

Если m₀ – масса покоящейся частицы, а m – масса той же частицы, движущейся со скоростью v, то из (7.19) следует

.

(7.20)

Полной или релятивистской энергией свободной частицы называется величина

.

(7.21)

Для покоящейся частицы величина

.

(7.22)

называется ее энергией покоя.

Таким образом, .Выполняемая работа A идет на увеличение кинетической энергии: . или с учетом (7.21) и (7.22)

.

(7.23)

При v<<c релятивистское выражение для кинетической энергии (7.23) переходит в классическое. В этом легко убедиться, разложив в бином Ньютона и ограничившись двумя членами разложения: = =.

Найдем теперь связь между энергией и релятивистским импульсом.

С этой целью преобразуем выражение (7.21) к виду

.

или

.

(7.24)

С учетом того, что импульс P=mv, а , из (7.24) получим:

.

(7.25)

или

.	(7.26)
.	(7.27)

Поскольку величина , то и правая часть (7.27) будет неизменной, т.е. инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца. Величина сохраняет свое значение в любой ИСО и получила название динамического инварианта.