- •Лекция №1
- •Основные понятия
- •Скорость и ускорение
- •. Нормальное и касательное ускорения
- •. Движение точки по окружности. Угловые скорость и ускорение
- •Лекция №2
- •1.2. Динамика поступательного движения
- •1.2.1. Законы Ньютона
- •1.2.2. Основная задача динамики
- •1.2.3. Законы сохранения и их связь со свойствами пространства-времени
- •1.2.4. Закон сохранения импульса. Теорема о движении центра масс
- •1.2.5. Сила тяжести
- •1.2.6. Сила упругости
- •1.2.7. Силы внешнего трения
- •Трение скольжения
- •Трение качения
- •1.3. Работа и энергия
- •1.3.1. Работа
- •1.3.2. Связь между работой и изменением кинетической энергии
- •1.3.4. Связь между консервативной силой и изменением потенциальной энергии
- •1.3.5. Закон сохранения механической энергии
- •1.3.6. Соударения
- •1.4. Вращательное движение твердого тела
- •1.4.1. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела. Момент инерции
- •.4.2. Основной закон динамики вращательного движения
- •1.4.3. Закон сохранения момента импульса
- •1.4.5. Прецессия гироскопа
- •5. Элементы механики сплошных сред
- •5.1. Введение
- •5.2. Элементы гидростатики
- •5.3. Основные понятия гидродинамики. Уравнение неразрывности
- •5.5. Течение вязкой жидкости
- •Лекция №6
- •6. Силы инерции
- •6.1 Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •6.2. Силы инерции при поступательном движении
- •6.3. Центробежная сила инерции
- •6.4. Сила Кориолиса
- •6.5. Некоторые свойства сил инерции
- •7. Элементы специальной теории относительности
- •7.1. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца
- •7.2. Релятивистское сокращение длины
- •7.3. Одновременность событий в различных исо
- •7.4. Длительность событий в различных исо
- •7.5. Релятивистский закон сложения скоростей
- •7.6. Четырехмерный интервал. Причинность
- •7.7. Релятивистский импульс. Релятивистское уравнение движения
- •7.8 Взаимосвязь массы и энергии. Динамический инвариант
7.7. Релятивистский импульс. Релятивистское уравнение движения
В классической механике Галилея – Ньютона считалось, что масса есть величина абсолютная, т.е. ее значение одинаково в любых ИСО. Однако к концу XIX в. при исследовании движения быстрых электронов в магнитных полях было обнаружено, что масса зависит от скорости:
-
,
(7.11)
где m0 – масса покоя, т.е. масса тела в системе отсчета, где его скорость равна нулю.
Выражение (7.11) можно вывести, исходя из закона сохранения импульса и преобразований Лоренца. График зависимости массы от скорости показан на рис. 7.4. Видно, что масса тела неограниченно возрастает при vс. Отсюда, между прочим, следует, что тело с ненулевой массой покоя (m0 0) нельзя разогнать до скорости, в точности равной скорости света в вакууме. Если же масса покоя частицы равна нулю (m0 = 0), то такая частица существует лишь двигаясь со скоростью v=c (не меньше и не больше, например, фотон).
Рис. 7.4.
Второй закон Ньютона в форме
не инвариантен (т.е. не сохраняет свой вид) по отношению к преобразованиям Лоренца, поэтому в таком виде он непригоден для релятивистских частиц. Для того, чтобы закон был инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца, его нужно переписать в виде
-
(7.12)
где учтено, что масса частицы зависит от скорости в соответствии с (7.11).
Формулу (7.12) можно записать также в виде
-
,
(7.13)
где
-
–
(7.14)
релятивистский импульс.
В формуле (7.12) массу нельзя выносить за знак дифференциала, так как если v=v(t), то в соответствии с (7.11) масса также будет зависеть от времени. Раскрывая производную в (7.12), получаем релятивистское уравнение движения:
-
,
(7.15)
Из уравнения (7.15) найдем ускорение , приобретаемой под действием силы :
-
,
(7.16)
При малых скоростях (v<<c) можно считать, что m=const, поэтому и уравнение (7.16) переходит в нерелятивистское уравнение Ньютона (2.1). В нерелятивистском случае, как видно из уравнения (2.1), ускорение направлено в сторону действия силы . В то же время, как видно из (7.16), направления векторов a и F в области больших скоростей не совпадают – здесь .
7.8 Взаимосвязь массы и энергии. Динамический инвариант
Вычислим работу силы F, действующей на тело массой m и направленной вдоль перемещения:
-
.
Подставив сюда F из (7.15), получим
-
.
(7.17)
Это выражение можно упростить, если воспользоваться соотношением (7.11). Для этого перепишем его в виде
и продифференцируем
-
.
Отсюда
-
.
(7.18)
С учетом (7.18) выражение (7.17) можно представить в виде
-
,
(7.19)
т.е. работа определяется приращением массы тела.
Если m0 – масса покоящейся частицы, а m – масса той же частицы, движущейся со скоростью v, то из (7.19) следует
-
.
(7.20)
Полной или релятивистской энергией свободной частицы называется величина
-
.
(7.21)
Для покоящейся частицы величина
-
.
(7.22)
называется ее энергией покоя.
Таким образом, .Выполняемая работа A идет на увеличение кинетической энергии: . или с учетом (7.21) и (7.22)
-
.
(7.23)
При v<<c релятивистское выражение для кинетической энергии (7.23) переходит в классическое. В этом легко убедиться, разложив в бином Ньютона и ограничившись двумя членами разложения: = =.
Найдем теперь связь между энергией и релятивистским импульсом.
С этой целью преобразуем выражение (7.21) к виду
-
.
или
-
.
(7.24)
С учетом того, что импульс P=mv, а , из (7.24) получим:
-
.
(7.25)
или
-
.
(7.26)
.
(7.27)
Поскольку величина , то и правая часть (7.27) будет неизменной, т.е. инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца. Величина сохраняет свое значение в любой ИСО и получила название динамического инварианта.