7.5. Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть система отсчета K' движется относительно K со скоростью =const вдоль оси x. Обозначим , – скорость тела соответственно в ИСО K и K'. Из преобразований Лоренца (7.1) и (7.2) следует

или

.

(7.7)

Аналогично, используя преобразования (7.1, а) и (7.2, а), получим

.

(7.8)

Формулы (7.7) и (7.8) выражают закон сложения скоростей в теории относительности.

При скоростях v<<c, u<<c, u'<<c релятивистский закон сложения скоростей (7.7) – (7.8) переходит в классический (см. (6.2)).

Формулы (7.7) и (7.8) находятся в согласии со вторым постулатом Эйнштейна. В самом деле, если в системе K скорость материального объекта u=c, то в системе K'

,

т.е. тоже равна скорости света. Таким образом, скорость света – это максимальная скорость, которую может достичь материальный объект.

7.6. Четырехмерный интервал. Причинность

В классической механике пространство и время выступали как абсолютные категории, существуя независимо друг от друга. В СТО эти понятия оказались относительными: расстояние между какими-либо точками пространства и длительность событий оказались зависящими от выбора системы отсчета. Однако при описании физических явлений (событий) в СТО помимо пространственных координат x, y, z необходимо указать также временную координату t. В классической механике при описании какого-либо явления в различных системах отсчета достаточно было указать лишь пространственные координаты, поскольку время в разных ИСО течет одинаково: t=t'.

Таким образом, в СТО время t и координаты x, y, z оказались в известной степени равноправными. Поэтому в СТО трехмерное пространство и время удобно представлять вместе, рассматривая четырехмерный мир. В этом четырехмерном пространстве некоторая точка (она называется мировой точкой) задается четырьмя координатами x, y, z, ict (i – мнимая единица, c – скорость света). Мнимая единица подчеркивает, что реальный мир трехмерный, но его можно представить и как четырехмерный, добавив к трем пространственным координатам x, y, z четвертую воображаемую координату, связанную со временем.

В трехмерном мире расстояние между двумя точками пространства (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) определяется известной формулой

,

где x = x ₂ – x ₁ и т.д.

В четырехмерном мире расстояние между точками определяется аналогично:

,

В силу ряда причин более удобной оказалась величина S, которая получается из l заменой знаков в подкоренном выражении, что впрочем, не играет принципиального значения. Величина

,

(7.9)

определяет расстояние между мировыми точками и называется четырехмерным интервалом. Четырехмерный интервал является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца, т.е. его значение остается неизменным при переходе от одной ИСО к любой другой:

,

(7.10)

Рис. 7.3.

В самом деле, из преобразований Лоренца (7.1, а) и (7.2, а) следует

Подставив эти выражения в (7.9), получим (7.10) (проделайте эти несложные выкладки).

Четырехмерные интервалы подразделяются на три класса.

1. Времени-подобные S₂>0. В этом случае световой сигнал успевает пройти расстояние между точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) за время меньшее, чем t. Физические явления в этих точках могут иметь причинно-следственную связь.

2. Пространственно-подобные, если S₂<0. В этом случае подкоренное выражение отрицательно, поэтому S является мнимой величиной. Световой импульс не успевает пройти расстояние между точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) за время t. Физические явления в этих точках не имеют причинно-следственной связи.

3. Нулевые S=0. Это предельный случай, когда события в точках (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) имеют причинно-следственную связь.

Геометрическое место точек в четырехмерном пространстве с нулевым интервалом образует поверхность, называемую световым конусом. На рис. 7.3 показан световой конус, когда одна из пространственных координат (координата z) опущена. Пространственно-подобные интервалы, которые описывают независимые друг от друга события, расположены за пределами светового конуса. Мировые линии, описывающие реальные физические процессы, расположены внутри светового конуса (одна из таких мировых линий линия 12 показана на рис. 7.3).