- •Лекция №1
- •Основные понятия
- •Скорость и ускорение
- •. Нормальное и касательное ускорения
- •. Движение точки по окружности. Угловые скорость и ускорение
- •Лекция №2
- •1.2. Динамика поступательного движения
- •1.2.1. Законы Ньютона
- •1.2.2. Основная задача динамики
- •1.2.3. Законы сохранения и их связь со свойствами пространства-времени
- •1.2.4. Закон сохранения импульса. Теорема о движении центра масс
- •1.2.5. Сила тяжести
- •1.2.6. Сила упругости
- •1.2.7. Силы внешнего трения
- •Трение скольжения
- •Трение качения
- •1.3. Работа и энергия
- •1.3.1. Работа
- •1.3.2. Связь между работой и изменением кинетической энергии
- •1.3.4. Связь между консервативной силой и изменением потенциальной энергии
- •1.3.5. Закон сохранения механической энергии
- •1.3.6. Соударения
- •1.4. Вращательное движение твердого тела
- •1.4.1. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела. Момент инерции
- •.4.2. Основной закон динамики вращательного движения
- •1.4.3. Закон сохранения момента импульса
- •1.4.5. Прецессия гироскопа
- •5. Элементы механики сплошных сред
- •5.1. Введение
- •5.2. Элементы гидростатики
- •5.3. Основные понятия гидродинамики. Уравнение неразрывности
- •5.5. Течение вязкой жидкости
- •Лекция №6
- •6. Силы инерции
- •6.1 Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •6.2. Силы инерции при поступательном движении
- •6.3. Центробежная сила инерции
- •6.4. Сила Кориолиса
- •6.5. Некоторые свойства сил инерции
- •7. Элементы специальной теории относительности
- •7.1. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца
- •7.2. Релятивистское сокращение длины
- •7.3. Одновременность событий в различных исо
- •7.4. Длительность событий в различных исо
- •7.5. Релятивистский закон сложения скоростей
- •7.6. Четырехмерный интервал. Причинность
- •7.7. Релятивистский импульс. Релятивистское уравнение движения
- •7.8 Взаимосвязь массы и энергии. Динамический инвариант
.4.2. Основной закон динамики вращательного движения
Выделим внутри абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OO' материальную точку, отстоящую от оси вращения на расстоянии ri – рис. 4.6, а. Пусть на эту точку действует внешняя сила i. Выберем прямоугольную систему координат с началом в выделенной точке; ось z направим параллельно оси вращения OO', а ось y – вдоль радиус-вектора i. Разложим силу i на составляющие i =ix + iy + iz.
Очевидно, что составляющие iy и iz вращения не вызовут – вращательное движение может происходить только под действием составляющей ix. Для характеристики "вращательного действия" этой составляющей введем понятие момента силы, т.е. векторное произведение силы на радиус-вектор, проведенный от оси вращения до точки приложения силы:
:
-
.
(4.6)
Рис. 4.6.
Модуль этого вектора Mi=Fixri, а его направление совпадает с осью вращения.
В общем случае, когда сила i ориентирована произвольным образом в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, момент силы определяется аналогично:
-
.
(4.7)
Модуль этого вектора Mi=Fixri sin i, где i – угол между векторами и . В частном случае, когда i=/2, выражение (4.7) совпадает с (4.6). Если же i=0, то Mi=0. Назовем плечом силы кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (т.е. li=ri sin i – рис. 4.6, б). Тогда модуль момента силы равен произведению силы на плечо.
Просуммируем (4.6) по всем материальным точкам твердого тела:
-
.
(4.8)
При этом необходимо отметить следующее.
В выражении (4.8) учтено действие только внешних сил. В то же время на какую-либо выделенную частицу твердого тела (атом, молекулу и т.д.), вообще говоря, действуют силы взаимодействия со стороны других частиц. Такие силы называются внутренними. Однако действие внутренних сил на вращательное движение твердого тела можно не учитывать по следующим причинам. Во-первых, если частица твердого тела находится в положении равновесия, то равнодействующая всех внутренних сил, действующих на нее, равна нулю. Во-вторых, при смещении частицы из положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть ее в это положение. Такая сила по своей природе является квазиупругой (§ 2.6). Под действием этой силы частица совершает гармонические колебания. В процессе таких колебаний направление квазиупругой силы меняется с очень большой частотой (1014 Гц), поэтому среднее по времени значение ее равно нулю.
Поскольку моменты i направлены вдоль одной и той же прямой (оси вращения), то (4.8) можно записать в скалярной форме:
-
.
(4.9)
По второму закону Ньютона действие силы Fix приведет к появлению тангенциального ускорения:
-
,
(4.9)
где mi – масса i-ой материальной точки. Тангенциальное ускорение ai выразим через угловое ai=ri, поэтому
-
.
(4.10)
Подставив (4.10) в (4.9) получим
-
,
(4.11)
где – суммарный момент внешних сил; – момент инерции.
В векторной форме
-
.
(4.12)
Выражения (4.11) и (4.12) представляют собой основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела: при воздействии внешнего момента силы тело вращается ускоренно, при этом модуль углового ускорения пропорционален модулю момента силы и обратно пропорционален моменту инерции тела; направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора момента силы.
Так как угловое ускорение определяется выражением , то из (4.12) следует
-
(4.13)
При этом учтено, что для абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, момент инерции I постоянен, и это позволяет внести его под знак дифференциала.
В формуле (4.13) величина носит название элементарного импульса момента силы, а – момента импульса (или вращательного импульса). Момент импульса является основной динамической характеристикой вращающегося тела.
Отметим, что основной закон динамики вращательного движения в виде (4.12) или (4.13) аналогичен второму закону Ньютона (см. (2.2) и (2.4)). При этом основной закон динамики для вращательного движения в форме (4.13) в отличие от (4.12), справедлив и в тех случаях, когда Iconst.