.4.2. Основной закон динамики вращательного движения

Выделим внутри абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OO' материальную точку, отстоящую от оси вращения на расстоянии r_i – рис. 4.6, а. Пусть на эту точку действует внешняя сила _i. Выберем прямоугольную систему координат с началом в выделенной точке; ось z направим параллельно оси вращения OO', а ось y – вдоль радиус-вектора _i. Разложим силу _i на составляющие _i =_ix + _iy + _iz.

Очевидно, что составляющие _iy и _iz вращения не вызовут – вращательное движение может происходить только под действием составляющей _ix. Для характеристики "вращательного действия" этой составляющей введем понятие момента силы, т.е. векторное произведение силы на радиус-вектор, проведенный от оси вращения до точки приложения силы:

:

.

(4.6)

Рис. 4.6.

Модуль этого вектора M_i=F_ixr_i, а его направление совпадает с осью вращения.

В общем случае, когда сила _i ориентирована произвольным образом в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, момент силы определяется аналогично:

.

(4.7)

Модуль этого вектора M_i=F_ixr_i sin _i, где _i – угол между векторами и . В частном случае, когда _i=/2, выражение (4.7) совпадает с (4.6). Если же _i=0, то M_i=0. Назовем плечом силы кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (т.е. l_i=r_i sin _i – рис. 4.6, б). Тогда модуль момента силы равен произведению силы на плечо.

Просуммируем (4.6) по всем материальным точкам твердого тела:

.

(4.8)

При этом необходимо отметить следующее.

В выражении (4.8) учтено действие только внешних сил. В то же время на какую-либо выделенную частицу твердого тела (атом, молекулу и т.д.), вообще говоря, действуют силы взаимодействия со стороны других частиц. Такие силы называются внутренними. Однако действие внутренних сил на вращательное движение твердого тела можно не учитывать по следующим причинам. Во-первых, если частица твердого тела находится в положении равновесия, то равнодействующая всех внутренних сил, действующих на нее, равна нулю. Во-вторых, при смещении частицы из положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть ее в это положение. Такая сила по своей природе является квазиупругой (§  2.6). Под действием этой силы частица совершает гармонические колебания. В процессе таких колебаний направление квазиупругой силы меняется с очень большой частотой (10¹⁴ Гц), поэтому среднее по времени значение ее равно нулю.

Поскольку моменты _i направлены вдоль одной и той же прямой (оси вращения), то (4.8) можно записать в скалярной форме:

.

(4.9)

По второму закону Ньютона действие силы F_ix приведет к появлению тангенциального ускорения:

,

(4.9)

где m_i – масса i-ой материальной точки. Тангенциальное ускорение a_i выразим через угловое a_i=r_i, поэтому

.

(4.10)

Подставив (4.10) в (4.9) получим

,

(4.11)

где – суммарный момент внешних сил; – момент инерции.

В векторной форме

.

(4.12)

Выражения (4.11) и (4.12) представляют собой основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела: при воздействии внешнего момента силы тело вращается ускоренно, при этом модуль углового ускорения пропорционален модулю момента силы и обратно пропорционален моменту инерции тела; направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора момента силы.

Так как угловое ускорение определяется выражением , то из (4.12) следует

(4.13)

При этом учтено, что для абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, момент инерции I постоянен, и это позволяет внести его под знак дифференциала.

В формуле (4.13) величина носит название элементарного импульса момента силы, а – момента импульса (или вращательного импульса). Момент импульса является основной динамической характеристикой вращающегося тела.

Отметим, что основной закон динамики вращательного движения в виде (4.12) или (4.13) аналогичен второму закону Ньютона (см. (2.2) и (2.4)). При этом основной закон динамики для вращательного движения в форме (4.13) в отличие от (4.12), справедлив и в тех случаях, когда Iconst.