1.3.6. Соударения

Рассмотрим важный случай взаимодействия двух тел – соударения. Соударением называется явление конечного изменения скоростей твердых тел за весьма малые промежутки времени при их непосредственном контакте. В процессе соударения твердые тела деформируются, в них возникают мгновенные ударные силы, значение которых может быть очень большим. Полный расчет ударных сил весьма сложен, однако значительный объем информации о соударениях можно получить, описывая их только с помощью законов сохранения импульса и энергии.

Упругие соударения. Абсолютно упругим называется такое соударение, в котором не происходит превращение механической энергии соударяющихся тел в другие виды энергии.

Рис. 3.5.

Рассмотрим в качестве простейшего примера прямое центральное соударение, при котором центры масс двух тел движутся вдоль одной прямой (рис. 3.5).

Пусть . Тогда в какой-то момент времени первое тело нагонит второе и произойдет соударение. В момент соударения кинетическая энергия тел частично превратится в потенциальную энергию упругой деформации, а затем силы упругости возвратят телам прежнюю форму. При этом потенциальная энергия упругой деформации в эквивалентом количестве превратится в кинетическую. Так как в процессе соударения участвуют только два тела, их можно считать замкнутой системой и использовать для описания процесса законы сохранения импульса и энергии.

На основании этих законов можно получить систему уравнений относительно скоростей ₁ и ₂ каждого из тел после их соударения:

.

Поскольку скорости направлены вдоль одной прямой, то векторы импульса можно складывать алгебраически. С учетом этого можно записать

.

(3.24)

С помощью несложных алгебраических преобразований нелинейную систему уравнений (3.24) можно преобразовать в систему линейных уравнений

.

решив которую, можно найти выражения для скоростей шаров после удара:

.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. m₁=m₂. Нетрудно видеть, что в этом случае u₁=v₂ и u₂=v₁, т.е. при упругих соударениях тела одинаковой массы обмениваются скоростями и, следовательно, энергиями. Отметим, что такой механизм обмена скоростями реализуется в процессе теплопроводности газов.

2. m₁<<m₂. В этом случае u₁=-v₁+2v₂ и u₂=v₂. Если же большее тело покоилось (v₂=0), то u₁=-v₁, т.е. малое тело "отразилось", не изменив модуля скорости и, следовательно, значения кинетической энергии. В то же время его импульс изменился на величину 2m₁v₁. Этот случай соударения будет использован нами при рассмотрении кинетической теории идеального газа.

Неупругие соударения. Соударение называется абсолютно неупругим, если соударяющиеся тела слипаются и двигаются дальше вместе с некоторой общей скоростью.

Запишем законы сохранения импульса и энергии для этого случая:

.

(3.25)

где u – скорость тел после удара; W – часть кинетической энергии тел, превратившаяся во внутреннюю.

Из системы уравнений (3.25) следует

;	(3.26)
.	(3.27)

Неупругие соударения широко используются в технологии обработки металлов ковкой: в этом случае необходимо создать такие условия, чтобы кинетическая энергия движущегося тела (молота) по возможности полностью затрачивалась на работу деформации второго тела (поковки). Такой процесс реализуется, если масса молота m₁ значительно меньше массы m₂ наковальни вместе с поковкой. В этих условиях с учетом того, что наковальня покоится (v₂=0), из (3.27) легко получить

.

Все реальные физические тела не являются ни абсолютно упругими, ни абсолютно неупругими, поэтому рассмотренные случаи представляются идеализированными моделями процессов соударения. Чтобы количественно оценить "степень упругости" соударения, вводится так называемый коэффициент восстановления, определяемый формулой

.

Коэффициент восстановления равен отношению относительных скоростей соударяющихся тел после и до удара. Для абсолютно упругого удара k=1, а для неупругого – k=0.

Как показали эксперименты и теоретические расчеты, значения коэффициента восстановления зависят не только от материала соударяющихся тел, но и от их скоростей и формы.

Лекція 4.