. Движение точки по окружности. Угловые скорость и ускорение

Пусть материальная точка движется по окружности радиуса r. За время dt материальная точка пройдёт путь, равный длине дуги ds. При этом радиус-вектор повернётся на угол d (рис.1.9).

Поскольку ds=dr, то

или

,

(1.8)

где

(1.9)

угловая скорость. Из (1.9) видно, что угловая скорость численно равна углу поворота радиуса-вектора за единицу времени.

Рис. 1.10

Направление угловой скорости находится по правилу буравчика (рис.1.10) и всегда совпадает с осью вращения.

Продифференцируем (1.8) по времени:

или

где

,	(1.10)
–	(1.11)

угловое ускорение.

Угловое ускорение численно равно изменению угловой скорости за единицу времени.

В заключение приведём табл.1.1, в которой устанавливается аналогия между линейными и угловыми кинематическими параметрами движения.

Таблица 1.1

Линейные параметры	Угловые параметры	Связь между параметрами
s (путь)	 (путь)	s=r
(скорость)	(угловая скорость
(ускорение)	(угловое ускорение)
Кинематика равнопеременного движения	Кинематика равнопеременного вращательного движения

Лекция №2

1.2. Динамика поступательного движения

1.2.1. Законы Ньютона

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к нему сил. В основе динамики лежат законы Ньютона.

Первый закон Ньютона (закон инерции). Если на тело не действуют силы, то оно находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчета.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Первый закон Ньютона выполняется лишь в инерциальных системах отсчета. Такую систему отсчета можно выбрать экспериментально, убедившись в справедливости первого закона в выбранной системе.

Второй закон Ньютона. Ускорение, с которым движется тело, пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально его массе:

	(2.1)
Или .	(2.2)

Масса есть мера инертности тела в поступательном движении. Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает под действием постоянной силы. Определенная таким образом масса называется инертной.

В СИ масса измеряется в килограммах. Килограмм есть основная единица СИ и устанавливается по соглашению (см. Введение).

Сила есть мера воздействия на данное тело со стороны других тел (или полей), в результате которого оно деформируется или движется ускоренно. Деформация есть статическое проявление силы, а ускорение – динамическое. Статическое проявление силы широко используется в повседневной практике для ее измерения (пружинный динамометр). Динамическое проявление силы используется для определения ее единицы: один ньютон (Н) – это сила, которая телу массой 1кг сообщает ускорение 1м/с: 1 Н = кгм/с².

Второй закон Ньютона, как и первый, вьполняется лишь в инерциальной системе отсчёта.

Второму закону Ньютона можно придать другой, более общий вид. Замечая, что , из (2.1) получаем

.

(2.3)

Считая, что т=const, вносим массу под знак дифференциала

.

(2.4)

Произведение силы на время ее действия dt называется импульсом cилы. Произведение массы тела на его скорость называется импульсом тела (или количеством движения). На основании (2.4) можно дать другую формулировку второго закона Ньютона: импульс силы равен изменению импульса тела. Эта формулировка является более общей по сравнению с предыдущей: оказывается, формула (2.4) справедлива для тел переменной массы (тconst), а также для любых скоростей тел, сколь угодно близких к скорости света с, в то время как формулы (2.1-2.3) справедливы, если т=const, v<<с.

Обозначим – импульс тела. Тогда из (2.4) следует

.

(2.5)

е. сила равна скорости изменения импульса тела. Это утверждение также можно рассматривать как одну из формулировок второго закона Ньютона, поскольку уравнения (2.4) и. (2.5) эквивалентны

Рис. 2.1

Третий закон Ньютона. Два тела взаимодействуют с силами, равными по значению, но противоположными по направлению (рис. 2.1):

.

(2.6)

Эти силы приложены к разным телам.