5.3. Основные понятия гидродинамики. Уравнение неразрывности

Гидродинамика – раздел механики, в котором изучается давление жидких и газообразных сред.

Движение жидкостей называется течением. Стационарным называется такое течение, скорость которого , в любой точке пространства, занятого средой, остается постоянной во времени.

Различают два вида течений жидкости – слоистое (или ламинарное) и турбулентное. Течение называется ламинарным, если поток жидкости представляет собой систему слоев, скользящих друг относительно друга без перемешивания. При турбулентном течение в жидкости образуются круговые потоки (вихри), которые приводят к перемешиванию отдельных слоев. Ламинарный режим течения наблюдается при малых скоростях; при повышении скорости течение становится турбулентным.

Линиями тока называют линии, касательные к которым совпадают с направлением скорости течения среды в точке касания (рис. 5.2). При стационарном течении линии тока совпадают с траекторией движения частиц среды и остаются неизменными во времени. Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.

Рис. 5.2. Рис. 5.3

Выберем два каких-либо сечения S₁ и S₂ в трубке тока (рис. 5.3). За время dt через сечение S₁ пройдет объем жидкости dV₁= S₁v₁dt. За это же время через сечение S₂ пройдет объем

dV₂= S₂v₂dt. Если жидкость несжимаема, то объемы dV₁ и dV₂ равны, поэтому

.

(5.1)

Выражение (5.1) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости: произведение скорости течения на сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока.

5.4. Уравнение Бернулли. Трубка Пито

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂ (рис. 5.4). Обозначим P₁ – внешнее давление, h₁ – высота, на которой расположено сечение S₁. Аналогично в месте расположения сечения S₂ соответствующие величины имеют значения P₂ и h₂. Спустя некоторый промежуток времени участок трубки тока S₁S₂ займет новое положение . Полная энергия жидкости изменится на величину W₂-W₁. При этом масса, заключенная в объеме , не меняет своего положения в пространстве. Поэтому в разности W₂-W₁ нужно учесть лишь изменение массы жидкости m, заключенной в объеме или .

По закону сохранения энергии изменение энергии W₂-W₁ обусловлено работой A внешних сил по перемещению жидкостей массой m:

.

(5.2)

Рис. 5.4.

Для перемещения массы m на расстояние l₁ должна быть выполнена работа A₁=F₁l₁, а на расстояние l₂ (рис. 5.4) A₂=F₂l₂, поэтому суммарная работа

.

Выразим силы давления F₁ и F₂ через соответствующие внешние давления P₁ и P₂ и сечения S₁ и S₂: F₁₌ P₁S₁, F₂₌ P₂S₂. В итоге

,

(5.3)

где V₁₌ S₁l₁, V₂₌ S₂l₂ – объемы жидкости, ограниченные сечениями соответственно и . Знак минус в формуле (5.3) указывает, что сила F₂ направлена навстречу силе F₁.

Полная энергия массы m жидкости равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

,	(5.4)
,	(5.5)

Подставляя (5.3)-(5.5) в (5.2), получим

,

(5.6)

В силу условия неразрывности струи V₁=V₂=V, поэтому, разделив на объем V и заметив, что =m/V – плотность жидкости, из (5.6) получим

или

.

(5.7)

Здесь P, gh, – соответственно статическое, гидростатическое и гидродинамическое давление.

Уравнение (5.7) называется уравнением Бернулли (1738 г.): сумма статического, гидростатического и гидродинамического давлений в установившемся потоке идеальной жидкости есть величина постоянная.

Для горизонтального потока уравнение Бернулли упрощается:

.

(5.8)

Из уравнения (5.8) вытекает важное следствие: при увеличении гидродинамического давления статистическое давление уменьшается, и наоборот. Это следствие лежит в основе одного из правил судовождения, запрещающего близко расположенным судам двигаться параллельным курсом, поскольку при этом может произойти их столкновение.

Рис. 5.5.

Уравнение Бернулли лежит в основе трубки Пито – устройства для измерения скоростей водных и воздушных потоков, а также относительных скоростей движения судов и самолетов (рис. 5.5). Для несжимаемой жидкости скорость потока

,

где  – плотность жидкости.