1.3. Работа и энергия

1.3.1. Работа

Работа есть мера действия силы, зависящая от величины и направления силы, а также от величины перемещения точки ее приложения.

Если сила =const по значению и направлению, то при прямолинейном движении (рис. 3.1) работа

,

(3.1)

где  – угол между направлением силы и направлением перемещения.

Рис. 3.1.

Работа может быть как положительной, так и отрицательной: A>0, если и A<0, если . Если сила направлена перпендикулярно к перемещению , то работа не выполняется: A=0. Если же сила ориентирована в направлении перемещения , то работа максимальна:

,

(3.2)

Работа измеряется в джоулях; 1 Дж – это работа, которая выполняется силой в 1 Н на пути в 1 м: 1 Дж=1Нм.

Выражение (3.1) представляет собой скалярное произведение векторов и, поэтому

,

(3.3)

Направление вектора l совпадает с направлением вектора перемещения.

Если сила F переменная, то вначале вычисляют элементарную работу:

или

,

(3.4)

где  – угол между касательной к траектории в данной точке и направлением силы (рис. 3.2).

Рис. 3.2.

Суммарная работа на конечном участке траектории найдется как криволинейный интеграл (см. математическое введение):

,

(3.5)

Пример. Работа внешней силы _вн=kx по растяжению пружины на величину x:

,

(3.6)

1.3.2. Связь между работой и изменением кинетической энергии

Пусть тело массой m движется вдоль оси x под действием силы . Такое движение будет ускоренным: начальное (в момент времени t₁) значение скорости v₁ изменится и к моменту времени t₂ станет равным v₂ (рис. 3.3).

Рис. 3.3.

В данном случае имеется двоякое проявление действия силы: с одной стороны, происходит изменение скорости тела, а с другой – выполняется некоторая работа. Найдем связь между выполненной над телом работой и изменением его скорости.

Элементарная работа

.

(3.7)

Найдем силу F из второго закона Ньютона:

и подставим в выражение (3.7):

или

.

Проинтегрируем полученное выражение в пределах от v₁ до v₂

.

Итак, работа равна изменению некоторой величины :

.

(3.8)

Эта физическая величина и есть кинетическая энергия:

.

(3.9)

Кинетическая энергия есть энергия движущегося тела. Ее величина определяется той работой, которую может совершить тело при его торможении, вплоть до полной остановки.

Из (3.8) и (3.9) следует, что работа численно равна изменению кинетической энергии тела:

.

(3.10)

Формула (3.10) справедлива для любого вида сил, поскольку при ее выводе не делалось никаких предположений об их природе.1.3.3. Связь между работой и изменением потенциальной энергии. Эту связь мы установим на примере работы силы тяжести по перемещению тела из одной точки в другую вблизи поверхности Земли. При этом =const, однако, в случае криволинейной траектории мы должны рассматривать работу силы как работу переменной силы, поскольку для разных точек траектории угол между вектором и перемещением d разный (рис. 3.4). Поэтому вначале мы должны найти элементарную работу:

.

Из рис. 3.4 видно, что

,

поэтому

.

(3.11)

Поскольку при движении тела вниз высота уменьшается, т.е. dh<0, то для того, чтобы работа была положительной в правую часть выражения (3.10) введен знак "минус".

Суммарную работу по перемещению тела из точки 1, расположенной на высоте h₁ (рис. 3.4), в точку 2, находящуюся на высоте h₂, вычислим интегрированием выражения (3.11):

Или

.

(3.12)

Рис. 3.4.

где W_p=mgh – потенциальная энергия тела на высоте h. В общем случае потенциальная энергия является энергией взаимодействия, зависящей от взаимного расположения тел или частиц.

Из выражения (3.12) видно, что работа в поле тяжести Земли равна убыли потенциальной энергии. Эта работа не зависит от формы пути, в чем легко убедиться, проделав аналогичные выкладки для какой-нибудь другой траектории (пунктирная линия на рис. 3.4). Она определяется лишь выбором начальной и конечной точек (точки 1 и 2 на рис. 3.4).

Теперь сделаем необходимое обобщение. Оказывается, что кроме сил тяжести, в природе существуют и другие силы, работа которых не зависит от формы пути, а зависит лишь от выбора начального и конечного положения. Такие силы получили название консервативных (или потенциальных). К консервативным силам относятся гравитационные, электростатические, упругие силы и др.

В случае замкнутого пути начальное и конечное положения совпадают, поэтому из формулы (3.12) следует A=0, т.е. работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю.

Итак, формула (3.12), выведенная нами для частного случая сил тяжести, справедлива для любых консервативных сил. Однако ее нельзя применять для неконсервативных сил (например, сил трения). Поэтому эта формула имеет более узкие границы применимости по сравнению с формулой (3.10), которая справедлива как для консервативных, так и неконсервативных сил.