1.2.4. Закон сохранения импульса. Теорема о движении центра масс

Рис. 2.2.

Рассмотрим вывод закона сохранения импульса на основе второго и третьего законов Ньютона. При этом следует иметь в виду, что этот закон имеет самостоятельное значение и может быть выведен из других более общих соображений (см. § 2.3).

Рассмотрим систему из трех взаимодействующих материальных точек (рис. 2.2). На каждую материальную точку этой системы действуют как внутренние , так и внешние силы. Применим к каждой из материальных точек второй закон Ньютона:

Сложим эти уравнения:

.

(2.7)

При сложении учтено, что векторная сумма всех внутренних сил равна нулю, поскольку по третьему закону Ньютона (i, k=1, 2, 3).

Из уравнения (2.7) следует, что изменение суммарного импульса системы равно суммарному импульсу внешних сил. Если же система замкнута, т.е. внешние силы отсутствуют, то

.

Отсюда

В общем случае для замкнутой системы, состоящей из п материальных точек,

.

(2.8)

Формула (2.8) есть математическая запись закона сохранения импульса: импульс замкнутой системы материальных точек с течением времени не изменяется как по величине, так и по направлению.

Положение центра масс системы из п материальных точек определяют по формуле

.

(2.9)

Из (2.9) следует, что

.

где M=m₁+m₂+…+m_n – масса системы. Продифференцируем это выражение по времени:

.

С учетом (2.8) получим или , т.е. центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Это так называемая теорема о движении центра масс.

Система отсчета, в которой центр масс покоится, называется системой центра масс или ц-системой. Очевидно, что такая система является инерциальной, в связи с чем центр масс часто называют центром инерции.

Система отсчета, в которой покоятся измерительные приборы, называется лабораторной (л-система). Ц-система удобна для проведения теоретических, а Л-система – экспериментальных исследований. Для перехода из одной системы в другую используют преобразования Галилея (см. §  6.1).

1.2.5. Сила тяжести

Путем анализа законов Кеплера Ньютон установил закон всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояний между ними:

,

(2.10)

где G – гравитационная постоянная.

Под материальными точками здесь понимаются тела при условии, что их линейные размеры намного меньше расстояния между ними. Для вычисления силы гравитационного притяжения между телами произвольной формы нужно провести векторное суммирование сил притяжения по всем парам материальных точек, на которые разбиваются эти тела.

Для шаров, как показал Ньютон, можно пользоваться формулой (2.10), взяв в качестве r расстояние между их центрами. В частности, если тело находится вблизи поверхности Земли, то

,

(2.11)

где M – масса; R – радиус Земли.

Сила тяжести (или вес тела) равна векторной сумме силы гравитационного притяжения тела к центру Земли и центробежной силы инерции, возникающей вследствие суточного вращения Земли (рис.2.3):

,

(2.12)

где – ускорение свободного падения, т.е. ускорение, которое приобретает свободно падающее тело под действием силы тяжести

Центробежная сила зависит от широты местности 

(2.13)

Рис.2.3

Вследствие сплюснутости Земли у полюсов и ее вращения ускорение свободного падения изменяется с широтой в пределах от 9,780 м/с² на экваторе, до 9,832 м/с² на полюсах.

Значение g=9,80620 м/с² принято в качестве стандартного.

На одной и той же широте ускорение свободного падения в различных точках поверхности Земли, вообще говоря, изменяется в некоторых пределах, что связано с неоднородностью структуры верхних слоев земной коры. Это явления лежит в основе гравиметрического метода разведки и уточнения контуров уже разведанных месторождений полезных ископаемых.

(2.13)